凧と風船の糸の角度を計算する方法

私はランドール・マンローの著書「How To: Absurd Scientific Advice for Common Real-World Problems」を読んでいます。これはおそらく説明するまでもないかもしれませんが、これは素晴らしい本です(xkcd コミックの作者であるランドール・マンローのすべての本がそうです)。この本の全体的なアイデアは、いくつかの突飛なアイデアを使用して、ほとんど一般的な問題を解決することです。ある章では、川を渡る方法に焦点を当てています。彼は多くの選択肢を提示します。川の流れを変えたり、川の水を全部蒸発させたりすることもできます(どちらのアイデアも馬鹿げていて楽しいです)。別の選択肢は、凧を使って川を渡ることです。そしてここが面白いところですが、マンローは凧と風船の両方が川を越えて飛ぶことができると述べています。風速が増加すると、凧は空高く上がります。しかし、風船は風が強くなると低く下がります。

つまり、ある風速では凧と風船の糸の角度が同じになるということですね。ああ！これを計算してみようかな。面白そう。

まずは風船から始めましょう。ヘリウムガスを充填した風船に風がなければ、風船は空に浮かび、紐は完全に垂直になります。風船に作用する力はたった3つです。まず、物体の質量（m）と重力場（g = 9.8 N/kg）の両方に依存する、下向きの重力です。風船は空気を押しのけるため、押しのけた空気の重さに等しい浮力が生じます（アルキメデスの原理）。もし風船にこの2つの力しか作用しないなら、おそらく正味の力は上向きになり、風船は加速して飛んでいくでしょう。さようなら、風船。

もちろん、その風船をそのままにしておきたいと思うかもしれません。だからこそ、風船に紐を結び付けるのです。この紐は、正味の力がゼロになるような大きさの下向きの張力（T）を及ぼします。正味の力がゼロのとき、風船は平衡状態にあり、静止しているので、重力に逆らう風船を眺めて楽しむことができます。これらの力を表す図を以下に示します。

これらの力の垂直方向の成分（垂直方向を y 方向とします）だけを合計すると、次のようになります。

重力の式（m*g）は既に存在しており、張力は全体の力をゼロにするために必要な値になります（これは拘束力です）。したがって、空気からの力（浮力）の式があれば、いくつかの要素をまとめることができます。この浮力は押しのけられた空気の重さなので、風船の体積（V）と空気の密度（ρ）が必要です。風船が半径Rの球体であると仮定すると、浮力は次のようになります。

さて、風を加えてみましょう。風が水平方向に一定の速度 (v) で吹いていると仮定します。これは、風船に別の力、つまり空気抵抗が加わることを意味します。この空気抵抗は、風と同じ方向の力としてモデル化できます。その大きさは、風速、風船の断面積 (A)、風船の形状 (C)、そして空気の密度 (ρ) に依存します。もしあなたが風だとしたら（そうです、あなたが風なのです）、風船の断面積は半径 R の円のように見えます。つまり、面積は πR ² (円の面積) に等しくなります。

しかし、ここで問題が発生します。風による水平方向の力が存在するため、その方向の正味の力がゼロになるように、別の水平方向の力も存在する必要があります。そうです、この追加の水平方向の力は、弦が斜めに引っ張られることで発生します。こちらが新しい図です。少し複雑です。

風を加えていることに注目してください。これは視覚効果を面白くするためです。弦の角度を変数 θ で表しています。風船がまだ平衡状態にある場合、正味の力は水平方向 (x) と垂直方向 (y) の両方向でゼロになります。弦の張力は x 方向と y 方向の両方向に力の成分を持っているため、次の2つの式が成り立ちます。

張力は拘束力なので、直接計算する方法はありません。でも、問題ありません。y方向の力の方程式でTを解き、x方向の力の方程式に代入すればいいんです。これで問題解決です。これで気球の傾斜角を表す式が得られます。抗力は気球の半径と風速の両方に依存しますが、浮力も（体積のため）半径に依存することを覚えておいてください。これらすべてを代入すると、この奇妙に見える式になります（でも、見た目ほど悪くはありません）。

心配しないでください。これから風速を変えて気球の傾き角をプロットしていきますが、まずは凧を見てみましょう。凧は風船ではありません。念のため言っておきますが。凧は空を飛ぶことができ、紐もついています。気球と同様に、凧も空気の流れ（「風」とも呼ばれます）と相互作用します。しかし、凧の場合、空気は空気を押し戻す力（抗力）と上向きに押し上げる力（揚力）の両方を持ちます。凧の揚力と抗力の両方をモデル化する一つの方法は、揚力抗力比を使うことです（これは実際に存在するものです）。

不思議ではありません。揚抗比は文字通り、揚力を抗力で割った値です。揚力を生み出す飛行物体はすべて抗力も生み出します。どちらも空気との相互作用によって生じます。つまり、より速く飛ぶ（または静止した凧の上を風が速い）と、揚力と抗力の両方が増加します。確かに、この揚抗比は飛行物体の形状と大きさ、そして空気の動きに対する向き（迎え角と呼ばれます）によって異なります。しかし、この凧の場合は、抗力を計算し、それにC _L（揚力係数）を掛けて揚力を算出します。

図を描く準備ができたと思います。こちらが力を加えた凧です。

え？これって風船の力と全く同じに見える？確かに似ているように見えるけど、大きな違いがある。風船には上向きに押し上げる浮力があり、それはただ一つの値で、風速が上がっても変化しない。凧の場合、上向きに押し上げる力は揚力で、風速に左右される。つまり同じではない。風が全くない時を考えてみよう。抗力はゼロ、つまり揚力もゼロだ。凧は飛ばない。ただ落ちて、悲しいことになる。

再び、Tの未知値を消去するために使える2つの力の方程式が得られます。これで、凧の角度（θ _k）を表す次の式が得られます。実は、風船の値と異なることがわかるように、いくつかの項目に添え字kを付けています。ちなみに、空気の密度はどちらの物体でも同じです。

さて、これから風速を変えたときの気球と凧の飛行角度をグラフにしてみましょう。でもその前に、この凧を飛ばすための最低速度を考えてみましょう。地面から離陸するには、揚力は凧の重さ以上でなければなりません。これで風速について解くことができます。これより低いと凧は飛びません。

これで、凧と風船の両方のパラメータの値をいくつか選ぶことができました。そこから最小速度を計算し、風船と凧の両方の糸の角度をプロットします。その後、速度を上げてきれいなグラフを確認します。凧の質量や揚抗比などは、大まかな推測値で設定しています。でも、心配しないでください。もし私の設定が気に入らなければ、以下のコードの値を変更してください。結果は以下の通りです。

はい、これは実際のPythonコードです。鉛筆アイコンをクリックすると編集して再度実行できます。ただし、この2つの曲線（凧と風船）にはいくつか重要な特徴があることに気付くはずです。

• 風速が増すにつれて、凧の角度は大きくなり、風船の角度は小さくなります。これは予想通りです。
• 風速のある値では、凧と風船は同じ角度で飛んでいます (私の値では約 2.19 m/s)。
• この凧は真上（90度の角度）に飛ぶことはありません。その代わり、最大で約61度の角度まで上がります。

すべての値（気球と凧の質量と抗力係数）を変えると、同じ角度になる風速も変わります。そうそう、最後にもう一つ。確かにこの記事にはかなりの計算量が含まれています。でも、もっとひどい計算になっていた可能性もあります。これらの計算では、弦に質量がないと仮定していました。もっと現実的な弦だったら、この問題はどれほど面白くなるか想像してみてください。これは宿題として残しておきます。

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