新たな証明が幾何学の難問に新たな展開をもたらす

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

1917年、日本の数学者掛谷宗一は、一見すると単なる幾何学の楽しい演習にしか思えない問題を提示しました。平らな面に、限りなく細い1インチの針を置き、それを回転させ、すべての方向を順番に指すようにしてみましょう。針が動かすことができる最小の面積はどれくらいでしょうか？

針を中心の周りで回転させるだけで円になります。しかし、針を独創的な方法で動かすことで、はるかに小さな空間を削り出すことも可能です。数学者たちはその後、この問題の関連バージョンである「掛谷予想」を提起しました。彼らはこの問題を解こうとする中で、調和解析、数論、さらには物理学との驚くべき関連性を発見しました。

「どういうわけか、さまざまな方向を指す線の幾何学は、数学の大部分に遍在している」とエディンバラ大学のジョナサン・ヒックマン氏は言う。

しかし、数学者たちもまだ完全には理解できていない問題でもあります。ここ数年、より容易な設定ではカケヤ予想のバリエーションが証明されてきましたが、通常の3次元空間では未解決のままです。この予想は多くの数学的帰結をもたらすにもかかわらず、しばらくの間、このバージョンに関する進歩は行き詰まっているかのようでした。

今、二人の数学者がいわば針を動かした。彼らの新たな証明は、数十年にわたって立ちはだかっていた大きな障害を打ち破り、ついに解決策が見えてくるかもしれないという希望を再び呼び起こした。

スモールディールとは何ですか?

掛谷氏は、平面上のどの方向にも長さ1の線分を含む集合に興味を持っていました。そのような集合の例は数多くありますが、最も単純なのは直径1の円板です。掛谷氏は、そのような最小の集合がどのような形になるかを知りたかったのです。

彼は、円板の半分の面積を持つ、わずかに窪んだ辺を持つ三角筋と呼ばれる三角形を提案しました。しかし、実際には、それよりもはるかに優れた三角形を作ることが可能であることが判明しました。

1919年、掛谷が問題を提示してからわずか数年後、ロシアの数学者アブラム・ベシコヴィッチは、針を非常に特殊な方法で並べると、任意の小さな面積を持つ、とげとげしたような集合を構成できることを示しました。（第一次世界大戦とロシア革命のため、彼の成果が数学界に伝わるまでには何年もかかりました。）

これがどのように機能するかを確認するには、三角形を底辺に沿って細長い三角形に分割してみましょう。そして、それらの三角形をできるだけ重なり合うように、かつわずかに異なる方向に突き出すようにスライドさせます。このプロセスを何度も繰り返すことで、三角形をどんどん細く細く分割し、空間内で慎重に再配置することで、集合を好きなだけ小さくすることができます。無限の極限では、数学的には面積を持たないものの、逆説的に、どの方向を指していても針を収容できる集合が得られます。

「これはちょっと意外だし、直感に反する話だ」とカリフォルニア大学バークレー校のルイシアン・チャン氏は言う。「非常に病的な組み合わせだ」

この結果は高次元に一般化できます。つまり、 n次元空間のすべての方向を指す単位線分を含む、任意の小さな体積を持つセットを構築できます。

ベシコヴィッチはカケヤの問いを完全に解決したかに見えた。しかし数十年後、数学者たちは面積（高次元の場合は体積）を別の大きさの概念に置き換えた、別のバージョンの問題を研究し始めた。

この問いの再構成を理解するには、まずカケヤ集合の各線分を少し太くしてみましょう。理想化された針ではなく、実際の針を使うかのように。平面上では、集合は非常に細い長方形で構成されますが、三次元空間では、非常に細い管の集合になります。

これらの太めの集合には、必ずいくらかの面積（または体積、ただし今は 2 次元の場合に限定します）があります。針の幅を変えると、この面積も変わります。1970 年代に、数学者ロイ・デイヴィス (6 月に死去) は、総面積がわずかに変化すると、各針の幅も大幅に変化する必要があることを示しました。たとえば、ベシコヴィッチの集合の太めのバージョンの面積を 1/10 平方インチにしたい場合、各針の厚さは約 0.000045 インチ、正確にはe ^-10インチにする必要があります。しかし、総面積を 1/100 平方インチ、つまり 10 分の 1 にしたい場合、針の厚さはe ^-100インチにする必要があります。(小数点の後に 43 個のゼロが続き、その後に他の桁が表示されます。)

「どのくらい小さくしたいのかを伝えると、信じられないほど細い針を要求しなければなりません」とプリンストン大学のチャールズ・フェファーマン氏は語った。

数学者は、ミンコフスキー次元と呼ばれる量を使用してカケヤ集合の「サイズ」を測定します。ミンコフスキー次元は通常の次元（空間を記述するために必要な独立した方向の数として定義されます）と関連していますが、まったく同じではありません。

ミンコフスキー次元について考える方法の 1 つを次に示します。集合を、直径が希望する単位の 100 万分の 1 である小さなボールで覆います。集合が長さ 1 の線分である場合、それを覆うには少なくとも 100 万個のボールが必要です。集合が面積 1 の正方形である場合は、それよりもはるかに多くのボールが必要になります。100 万の 2 乗、または 1 兆個です。体積 1 の球の場合は、約 100 万の 3 乗 (100 京) になります。ミンコフスキー次元はこの指数の値です。これは、集合を覆うために必要なボールの数が、各ボールの直径が小さくなるにつれて増加する割合を測定します。線分は次元 1、正方形は次元 2、立方体は次元 3 です。

これらの次元はよく知られています。しかし、ミンコフスキーの定義を用いると、例えば2.7次元の集合を構築することが可能になります。このような集合は3次元空間を埋め尽くすわけではありませんが、ある意味では2次元面よりも「大きい」と言えます。

与えられた直径のボールで集合を覆うとき、それはその集合の太らせた体積を近似していることになります。針の太さに対する集合の体積の減少が緩やかであればあるほど、それを覆うのに必要なボールの数が増えます。したがって、平面におけるカケヤ集合の面積は緩やかに減少するというデイヴィスの結果を書き直すと、その集合のミンコフスキー次元は2でなければならないことがわかります。カケヤ予想はこの主張を高次元に一般化したものです。つまり、カケヤ集合は、それが存在する空間と同じ次元を持たなければならないということです。

その単純な主張を証明するのは驚くほど困難でした。

推測の塔

1971年にフェファーマンが驚くべき発見をするまで、この推測は珍しいものと見なされていた。

当時、彼は全く異なる問題に取り組んでいました。フーリエ変換を理解しようとしていたのです。フーリエ変換は、関数を正弦波の和として表すことで数学者が研究できる強力なツールです。例えば、音符を考えてみてください。音符は多くの重なり合う周波数で構成されています。（ピアノの中央のドとバイオリンの中央のドの音が異なるのはそのためです。）フーリエ変換により、数学者は特定の音符を構成する周波数を計算することができます。同じ原理は、人間の話し声のような複雑な音にも当てはまります。

数学者たちは、無限に存在する構成周波数の一部だけを与えられた場合に、元の関数を再構築できるかどうかも知りたいと考えています。彼らは1次元ではその方法についてよく理解しています。しかし、高次元では、どの周波数を使用し、どの周波数を無視するかについて異なる選択をすることができます。フェファーマンは、同僚たちを驚かせ、特によく知られた周波数の選択方法に頼ると、関数を再構築できない可能性があることを証明しました。

彼の証明は、ベシコヴィッチのカケヤ集合を修正することで関数を構成することにかかっていました。これは後に数学者たちに、フーリエ変換の高次元挙動に関する予想の階層構造を構築するきっかけを与えました。今日では、この階層構造には、シュレーディンガー方程式のような物理学における重要な偏微分方程式の挙動に関する予想さえ含まれています。階層構造の各予想は、その下の予想を自動的に導き出します。

掛谷予想はまさにこの塔の根底にあります。もしそれが偽であれば、階層構造の上位にある命題も偽となります。一方で、掛谷予想が正しいと証明されたとしても、その上位にある予想が直ちに正しいとは限らないものの、それらを攻撃するためのツールや洞察が得られる可能性があります。

「カケヤ予想の驚くべき点は、単なる面白い問題ではなく、真の理論的ボトルネックであるということです」とヒックマン氏は述べた。「偏微分方程式やフーリエ解析における多くの現象が理解できないのは、カケヤ集合を理解していないからです。」

計画を練る

フェファーマンの証明は、その後数論、組合せ論、その他の分野との関連性が発見されたことと相まって、一流の数学者の間でカケヤ問題への関心を復活させた。

1995年、トーマス・ウォルフは、3次元空間におけるカケヤ集合のミンコフスキー次元は少なくとも2.5でなければならないことを証明しました。しかし、この下限値を上げることは困難であることが判明しました。そして1999年、数学者のネッツ・カッツ、イザベラ・ラバ、そしてテレンス・タオは、この下限値を上回ることに成功しました。彼らの新たな下限値は2.500000001でした。改善はわずかでしたが、巨大な理論的障壁を克服したのです。彼らの論文は、数学界で最も権威のある学術誌であるAnnals of Mathematicsに掲載されました。

カッツとタオは後に、この研究で得られたアイデアのいくつかを応用し、3次元カケヤ予想を別の方法で検証しようと考えた。彼らは、反例には必ず3つの特定の性質があり、それらの性質が共存すると必ず矛盾が生じるという仮説を立てた。もしこれを証明できれば、カケヤ予想が3次元でも成り立つことになる。

彼らは完全には到達できなかったものの、ある程度の進歩を遂げました。特に、彼らは（他の数学者らと共に）反例が3つの性質のうち2つを満たさなければならないことを示し、その性質とは「平面的」であること、つまり線分が1点で交差する場合、それらの線分はほぼ同一平面上にあること、そして「粒状的」であること、つまり隣接する交点の平面が同様の方向を向いていることです。

残るは3つ目の性質だ。「粘着性」集合では、ほぼ同じ方向を指す線分は空間的に互いに近接して位置している必要がある。カッツとタオは、すべての反例が粘着性であることを証明することはできなかった。しかし直感的には、粘着性集合は線分間の重なりを多くすることで集合を可能な限り小さくする最良の方法のように思える。まさに反例を作るために必要なことだ。もし誰かが粘着性カケヤ集合のミンコフスキー次元が3未満であることを示すことができれば、3次元カケヤ予想は反証されるだろう。「『粘着性』が最も懸念されるケースのように思えます」とマサチューセッツ工科大学のラリー・ガスは述べた。

もう心配する必要はありません。

行き詰まり点

2014年、カッツとタオがカケヤ予想の証明を試みてから10年以上経った後、タオは自身のブログに彼らのアプローチの概要を掲載し、他の数学者にそれを自分で試す機会を与えた。

2021年、ニューヨーク大学の数学者ホン・ワン氏とブリティッシュコロンビア大学のジョシュア・ザール氏は、タオ氏とカッツ氏が残したところを引き継ぐことを決めた。

彼らはまず、ミンコフスキー次元が3未満の粘着性反例の存在を仮定した。彼らは以前の研究から、そのような反例は平面的かつ粒状的である必要があることを知っていた。「つまり、私たちはテリー・タオとネッツ・カッツが考えていたような世界にいたのです」とザールは述べた。次に彼らは、平面的、粒状的、そして粘着的性質が互いに作用し合い、矛盾が生じることを示す必要があった。矛盾が生じると、この反例は実際には存在し得ないことになる。

しかし、その矛盾を解明するために、ワン氏とザール氏は、カッツ氏とタオ氏が予想していなかった方向、つまり投影理論として知られる領域に注目した。

彼らはまず、粘着性のある反例の構造をより詳細に分析することから始めました。理想化された集合を考えてみると、そこにはあらゆる方向を向く無限の線分が含まれます。しかし、この問題では、それらの線分の太ったバージョン、つまり針の束を扱っていることを思い出してください。これらの針のそれぞれには、理想化された線分が多数含まれる可能性があります。つまり、無限集合全体を有限本の針でエンコードできるということです。針の太さによって、太った集合は大きく異なるように見えるかもしれません。

セットが粘着性がある場合、針がどれだけ太くても見た目はほぼ同じになります。

ワン氏とザール氏はこの性質を利用し、針が細くなるにつれて、針状結晶の集合はより平面的になることを示した。この過程を通して、彼らは「さらに病的な物体」、つまりあり得ない性質を持つと思われる物体を抽出することができたとザール氏は述べた。

彼らが次に示したのはまさにそれだ。彼らは、この病的な物体は二通りの見え方をしなければならないことを証明したが、どちらの場合も矛盾が生じていた。一つは、二次元空間に投影することで、多くの方向で物体をはるかに小さくすることができるというものだった。これは、ワンと彼女の同僚たちが不可能だと示したばかりのことだ。もう一つは、セット内の針が非常に特殊な機能に従って配置されているというものだった。これはザールと彼の共同研究者たちが最近証明した通り、存在し得ないものだ。なぜなら、そのような機能があれば、意味をなさない別の種類の投影が生まれるからだ。

ワンとザールはこれで矛盾を解消した。つまり、カケヤ予想には粘着性のある反例は存在しないということだ。（彼らはこれをミンコフスキー次元だけでなく、ハウスドルフ次元と呼ばれる関連量についても示した。）「この結果は、このクラスの反例全体を除外するものです」とザールは述べた。まさに数学者たちが予想を反証する可能性が高いと考えていたタイプの集合である。

この新たな研究は「カケヤ予想が正しいことを強く支持するものだ」と、ブリティッシュコロンビア大学のパブロ・シュマーキン氏は述べた。カケヤ予想は3次元の場合にのみ適用されるが、その手法の一部は高次元でも有用となる可能性がある。数学者たちは、他の数体系において長年にわたりこの予想の進展に取り組んできたが、この問題の本来の実数領域への回帰に興奮している。

「彼らがこのケースを完全に解決したことは注目に値します」と張氏は述べた。「現実の状況では、これは極めて稀なことです。」そして、もし誰かが反例が必ず粘着性を持つことを証明できれば、その新たな結果は三次元における完全な予想を示唆することになる。その上に構築された予想の階層は安全であり、その基盤は安定するだろう。

「一見するとあまり関係がないように見える射影理論におけるこれら2つの異なる問題が、どういうわけかうまく組み合わさって、カケヤにとってまさに必要な結果が得られたのです」とザール氏は語った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。