乱流の普遍法則は結局それほど無法ではない

静かな川を想像してみてください。そして、激しい流れの激流を想像してみてください。この2つの違いは何でしょうか？数学者と物理学者にとっての違いは、穏やかな川は一方向に流れ、激流は同時に様々な方向に流れているということです。

このような無秩序な運動をする物理系は乱流系と呼ばれます。その運動が同時に非常に多様な形で展開されるため、数学的に研究することは困難です。研究者が轟音を立てて流れる川を正確な数学的記述で記述できるようになるまでには、おそらく何世代もの数学者が出入りすることになるでしょう。

しかし、新たな証明により、ある種の乱流系は一見無秩序に見えるものの、実際には単純な普遍法則に従っていることがわかった。この研究は、数学がこれまでに提示した乱流の記述の中で最も厳密なものの一つである。そして、この研究は、これまで制御不可能とされてきたこの現象を研究者が研究する方法を変革する、新たな手法から生まれた。

「これは乱流に対する最も有望なアプローチかもしれない」とミネソタ大学の数学者で乱流研究の専門家であるウラジミール・スヴェラック氏は言う。

この新たな研究は、流動する液体のパターンを記述する方法を提示する。これらのパターンは、海中の近傍地点間の急激な温度変化や、白と黒の絵の具が激しく様式的に混ざり合う様子に顕著に表れている。1959年、オーストラリアの数学者ジョージ・バチェラーは、これらのパターンが厳密で規則的な秩序に従うと予測した。今回の新たな証明は、「バチェラーの法則」として知られるようになったこの予測の正しさを立証するものである。

「バチェラーの法則は至る所で見られます」と、メリーランド大学カレッジパーク校の数学者で、アレックス・ブルメンタールとサミュエル・パンション＝スミスと共に証明の共著者であるジェイコブ・ベドロシアン氏は述べた。「この法則を証明することで、それがいかに普遍的な法則であるかをより深く理解できるようになります。」

下まで続く乱気流

荒波の川の白波は、今回の証明で問題となっている乱流の種類そのものではありませんが、密接に関連しており、より身近な存在です。そのため、数学者たちが解析した具体的な乱流の種類に移る前に、少しの間、この乱流について考えてみる価値はあります。

キッチンのシンクに水がいっぱい詰まっているところを想像してみてください。排水口を開けてください。シンクの中の水は、ほぼ一体のように回転し始めます。もし流体を拡大して、より細かいスケールで速度を測定しても、同じことが観察されます。つまり、流体の微細な部分の一つ一つが、他の部分と足並みを揃えて動いているのです。

「この動きは主にシンク自体の規模で起きている」とメリーランド大学カレッジパーク校の博士研究員であるブルーメンソール氏は言う。

では、単に水を抜くのではなく、蛇口を閉めながら蛇口に水を噴射し、ジャグジーのように水をかき混ぜたと想像してみてください。肉眼で見ると、水中でいくつかの異なる渦が回転しているのが見えるでしょう。そのうちの一つの渦を選び、拡大してみましょう。もしあなたが乱流の蛇口の流れを分析しようとしている数学者なら、選んだ渦の中のすべての水粒子が同じ方向に動いていることを期待するでしょう。そうすれば、流体のモデル化が容易になります。

しかし残念ながら、渦自体が多数の異なる渦で構成されており、それぞれが独自の方向に動いていることがわかります。そのうちの1つを拡大すると、それもまた多数の異なる渦で構成されていることがわかります。そして、流体内の内部摩擦（または粘性）の効果が支配的になり、流れが滑らかになるまで、この状態がずっと続きます。

これは乱流系の特徴です。乱流系は、異なるスケールにおいて、互いに異なる挙動が重なり合っています。乱流系の運動を完全に記述するには、あらゆるスケールにおいて、各瞬間に何が起こっているかを把握する必要があります。どのスケールも無視することはできません。

それは大変な課題で、銀河系内での地球の動きからボールの周りのガス分子間の相互作用まですべてを使ってビリヤードのボールの軌道をモデル化するのと同じようなものだ。

「すべてを一度に計算しなければならないので、モデル化するのは非常に難しい」と、乱流を研究するウィスコンシン大学のジャン＝リュック・ティフォー氏は言う。

その結果、数学者たちは乱流系のあらゆる点、あらゆる瞬間に何が起こっているかを正確に記述する乱流の記述法を見つけ出そうと、何十年も努力を重ねてきました。しかし、彼らは未だに成功していません。

「乱気流はあまりにも激しいため、正面から直接対処するのは難しい」とティフォー氏は語った。

これは急流の川や排水溝にも当てはまります。また、新たな証明における乱流の特定の変種にも当てはまります。

混ぜ合わせる

シンクと川は流体乱流の例です。流体の速度、つまり速さと方向が点ごとに大きく変化するという意味で、乱流です。今回の新しい研究は、流体中の各点で測定できる速度以外の特性について研究しています。それが何を意味するのか理解するために、絵の具を混ぜることを考えてみてください。

まず、白い塗料の入った容器を用意します。次に、黒い塗料を1秒ごとに1滴ずつ加え、かき混ぜます。最初の一滴は白い塗料の中に落ち、島のように浮かび上がります。しかし、すぐに白い塗料と混ざり合い始め、どんどん細い筋状になっていきます。その後に続く黒い塗料の滴も、同じ変化の様々な段階を経ていきます。伸びたり、伸びたり、灰色に染み込んでいく塗料の塊に取り込まれていきます。撹拌シンク内の速度が点ごとに異なるように、黒い塗料の濃度も点ごとに異なります。ある場所（筋状の部分が太い場所）では濃度が高く、他の場所では低くなります。

このシミュレーションで黒の塗料が白に混ざり合う様子は、「受動的なスカラー乱流」を実証しています。バチェラーの法則は、このような乱流系の挙動を説明しています。動画：Qizheng Yan、David Saintillan（UCSD）

この変化は「受動スカラー乱流」の一例です。これは、ある流体（「受動スカラー」とみなされる）を別の流体と混ぜ合わせたときに起こる現象、例えばミルクとコーヒー、黒い絵の具と白い絵の具を混ぜ合わせたときに起こる現象と考えることができます。

受動的なスカラー乱流は、海中の近隣地点間の劇的な温度変化など、自然界の多くの現象にも特徴づけられます。そのような環境では、海流は、かき混ぜることで黒い絵の具が白い絵の具に混ざるように、温度を「混ぜ合わせ」ます。

バチェラーの法則とは、ある流体を別の流体と混合した際に生じる大規模な現象（太い絵の具の蔓、あるいは同じ温度の海水の太い帯）と小規模な現象（より細い蔓）の比率に関する予測です。物理学者が長年にわたり実験で観察してきたため、この法則と呼ばれています。

「物理学の観点から言えば、それは法則と呼ぶにふさわしい」と、ブラウン大学の数学者パンション＝スミス氏は述べた。しかし、この研究以前には、それが絶対的に成り立つという数学的な裏付けはなかった。バチェラー氏が考えていたことを理解するために、絵の具の例に戻ってみよう。しばらくこのプロセスを繰り返し、黒い絵の具を少しずつ滴下しながらかき混ぜたと想像してみてほしい。そして、その様子を静止させてみてほしい。黒い絵の具の太い蔓（かき混ぜ時間が最短の絵の具）、細い蔓（かき混ぜ時間が長かった絵の具）、そしてさらに細い蔓（かき混ぜ時間がさらに長かった絵の具）が見えるだろう。

バチェラーの法則は、太い巻きひげ、より細い巻きひげ、そして最も細い巻きひげの数が正確な比率に従うと予測します。これは、ロシア人形を構成する入れ子になった人形が正確な比率に従うのと似ています (その場合、長さスケールごとに人形が 1 つ)。

「ある液体の塊の中に、異なるスケールの縞模様が見えることがあります。それは、まだ混ざり始めたばかりの液滴もあれば、しばらく混ざり合っている液滴もあるからです」とブルーメンソール氏は述べた。「バチェラーの法則は、これらの黒い塗料の縞模様の大きさの分布を示しています。」バチェラーの法則が予測する正確な比率を説明するのは複雑ですが、細い触手は太い触手よりも正確な比率で多くなります。

この法則は、流体の塊を拡大してもこの比率が維持されることを予測しています。ペンキ缶の中や小さなペンキの塊の中にある、大きさの異なる触手の間に全く同じ関係が見られます。さらに拡大して、さらに小さな塊に拡大しても、この関係は依然として見られます。このパターンはどのスケールでも同じで、これは流体乱流において、それぞれの渦の中にさらに別の渦が含まれているのと同じです。

これは強力な予測ですが、数学的にモデル化するのは非常に困難です。異なる長さスケールにおける現象の複雑な絡み合いにより、単一の流体の流れにおけるバチェラーの法則の出現を正確に記述することは不可能です。

しかし、新しい研究の著者らは、この困難を回避し、とにかく法則を証明する方法を見つけました。

ランダムなアプローチ

ベドロシアン、ブルーメンタール、パンション＝スミスは、あらゆる乱流系における流体の平均的な挙動を考慮するアプローチを採用しました。数学者たちは以前にもこの戦略を試みましたが、誰も成功裏に実装できませんでした。

このアプローチが機能するのは、ランダム性によってシステムの挙動を正確に予測しやすくなる場合があるためです。ゲームショーやアーケードゲームにあるようなペグボードを想像してみてください。上からコインを落とすと、ペグからペグへと跳ね返り、最終的に下部の多数のスロットのいずれかに落ち着くでしょう。1枚のコインがどこに落ちるかを正確に予測することは困難です。各ペグでコインがどの方向に跳ね返るかに影響を与える要因があまりにも多すぎるからです。

代わりに、システムをランダムとして扱うことができます。つまり、各ペグでコインが左に跳ねる可能性と右に跳ねる可能性があることを認めるのです。確率を正しく設定すれば、システム全体の挙動について正確な予測を行うことができます。例えば、コインが特定のスロットに落ちる確率が他のスロットよりもはるかに高いことがわかるかもしれません。

「ランダム性のいいところは、平均化のようなことが可能なことです」とティフォー氏は言う。「平均化は、多くの細かい点を気にしないという意味で、非常に堅牢な考え方です。」

では、これは乱流と絵の具の混合において何を意味するのでしょうか？数学では正確で決定論的な記述は不可能であるため、絵の具に作用する力がランダムに発生する、つまり、ある時はこのようにかき混ぜられ、ある時はあのようにかき混ぜられ、そのかき混ぜ方に根本的なパターンはない、と想像する方が有用です。これはランダムアプローチ、あるいは確率的アプローチとして知られています。これにより、数学者は高度な統計的視点を取り入れ、細部にとらわれることなく、こうしたシステムで一般的に何が起こるのかを調べることができます。

「少しのランダム性によって、困難を曖昧にすることができます」とパンション・スミス氏は語った。

そして、それが最終的に 3 人の数学者がバチェラーの法則を証明することを可能にしたのです。

ミキシングの理解

物理法則を証明する一つの方法は、その法則を無効にする状況を考えることです。もしそのような状況が決して起こらないことを証明できれば、その法則が常に成り立つことを証明することに戻ります。今回のケースでは、研究チームは、バチェラーの法則によって予測される縞模様を防ぐには、攪拌が非常に特殊な効果を生み出さなければならないことに気づきました。

この法則の証明は、2018年9月から2019年11月にかけてオンラインに投稿された4本の論文にまとめられています。最初の3本は、バチェラーの予測の実現を妨げる、塗料を混ぜる際の特定の動きを理解し、排除することに焦点を当てています。これらの論文は、たとえバチェラーの法則を破るように完璧に設計された流体を作り上げようとしたとしても、このパターンが依然として現れることを証明しました。

「理解すべき重要なことは、体液があなたに不利に働くことはないということだ」とベドロシアン氏は言う。

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例えば、混合過程で塗料の中に恒久的な渦、つまり渦巻きが生じた場合、バチェラーの法則は成り立ちません。これらの渦巻きは、小川のほとりの渦巻きに閉じ込められたゴミのように、黒い塗料の一部を一箇所に閉じ込めてしまい、塗料は混ざり合わなくなります。

「このような渦の中では、粒子の軌道は無秩序ではありません。粒子は一緒に回転しているので、すぐに分離することはありません」とベドロシアン氏は述べた。「系が適切な速度で混合されていなければ、バチェラーの法則は成立しません。」

最初の論文で、数学者たちは、互いに隣接した2つの黒い塗料の点が混ざり合う過程で何が起こるかに焦点を当てました。彼らは、点がカオス的な軌跡を描き、それぞれ独自の方向へ進んでいくことを証明しました。言い換えれば、近くの点が永遠に同じ渦に巻き込まれることは決してないということです。

「粒子は最初は一緒に移動しますが、最終的には分離してまったく異なる方向に進みます」とブルーメンソール氏は言います。

2番目と3番目の論文では、彼らは混合過程をより広い視野で考察しました。彼らは、カオス流体において、一般的に黒と白の絵の具は可能な限り速く混ざり合うことを証明しました。これにより、乱流流体はバチェラーの法則によって記述される優美な全体的描像の成立を妨げるような局所的な欠陥（渦）を形成しないことがさらに確立されました。

最初の3つの論文で、著者らは塗料が完全にカオス的に混ざり合うことを証明するために必要な難解な数学的手法を駆使しました。4番目の論文では、そのような混合特性を持つ流体においては、バチェラーの法則が結果として成り立つことを示しました。この証明は、乱流系に関してこれまでになされた中で最も数学的に厳密な主張の一つです。おそらくさらに重要なのは、新たな数学的知見の潮流への道を開くことです。乱流はカオス的な現象であり、その動きはほぼランダムです。3人の数学者は、ランダム性にランダム性で対抗する方法を見出しました。この分野の他の研究者も、ほぼ確実に彼らの先例に倣うでしょう。

「彼らの大きな貢献は、私たちが物事を証明できる枠組みを与えてくれたことです」とティフォー氏は述べた。「ランダム性は、数学的に理解できる乱流モデルを構築する数少ない方法の一つだと思います。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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