素数に関する大きな疑問に部分的な答えが得られた

9月7日、二人の数学者が、数学における最も有名な未解決問題の一つの証明を公開しました。この結果は、「双子素数予想」の研究に新たな局面を開くものです。双子素数予想は1世紀以上にわたり数学者を悩ませ、算術の最も深遠な側面のいくつかに影響を及ぼすものです。

「この問題については長い間行き詰まり、アイデアが枯渇していたので、誰かが新たな洞察を思いつくと、自然と興奮するのです」とオックスフォード大学の数学者ジェームズ・メイナード氏は語った。

双子素数予想は、差が2である素数のペアに関するものです。5と7は双子素数です。17と19も同様です。この予想は、このような素数のペアが数えられる数、つまり整数の中に無限に存在すると予測しています。数学者たちは過去10年間でこの問題の解決に飛躍的な進歩を遂げましたが、いまだに解決には程遠い状況です。

コロンビア大学のウィル・ソーウィンとウィスコンシン大学マディソン校のマーク・シュスターマンによる新たな証明は、より小規模ながらも依然として重要な数学の世界において双子素数予想を解き明かすものです。彼らは、扱える数がほんの一握りしかない有限数体系の設定において、この予想が成り立つことを証明しました。

これらの数体系は「有限体」と呼ばれます。そのサイズは小さいにもかかわらず、無限の整数に見られる数学的性質の多くを保持しています。数学者は有限体上で算術的な問題を解こうとし、その結果を整数に変換しようとします。

「究極の夢は、少しナイーブかもしれないが、有限体の世界を十分理解できれば、整数の世界に光が当てられるかもしれないということだ」とメイナード氏は語った。

双子素数予想の証明に加え、サウィンとシュスターマンは小数体系における素数の振る舞いについて、さらに包括的な結果を発見しました。彼らは、双子素数がより短い間隔でどれほど頻繁に出現するかを正確に証明しました。これは、双子素数という現象を極めて正確に制御できることを実証するものです。数学者たちは、通常の数についても同様の結果が得られることを夢見ており、数直線上の素数に適用できる知見を求めて、新たな証明を徹底的に探求するでしょう。

新しい種類のプライム

双子素数予想の最も有名な予測は、差が2である素数のペアが無限に存在するというものです。しかし、この主張はそれよりも一般論的です。差が4（3と7など）や14（293と307など）の素数のペア、あるいは2以上の任意の差を持つ素数のペアが無限に存在すると予測しています。

アルフォンス・ド・ポリニャックは1849年に、現在の形でこの予想を提唱しました。その後160年間、数学者たちはこの予想についてほとんど進展がありませんでした。しかし2013年、ダムが決壊し、少なくとも大きな穴が開いたのです。同年、張易堂は7000万個以下の素数ペアが無限に存在することを証明しました。翌年、メイナードやテリー・タオを含む他の数学者たちが、素数ペアの差をかなり縮めました。現在の最先端技術は、差が最大246個である素数ペアが無限に存在することを証明しています。

しかし、双子素数予想の進展は停滞している。数学者たちは、この問題を完全に解くには全く新しいアイデアが必要だと理解している。有限数系は、そのアイデアを探すのに適した場である。

有限体を構築するには、まず数から有限個の数の集合を抽出します。例えば、最初の5つの数（あるいは任意の素数に相当する数）を取り出すことができます。私たちが普段行っているように数直線に沿って数を視覚化するのではなく、この新しい数体系を時計の文字盤に沿って視覚化してみましょう。

算術は、直感的にわかるように、時計の文字盤をぐるりと回るように進みていきます。5つの要素を持つ有限数体系では、4 + 3 はいくつになるでしょうか？4から始めて、時計の文字盤の周りを3つ数えると、2になります。引き算、掛け算、割り算も同様に機能します。

ただ、落とし穴があります。素数という一般的な概念は有限体では意味をなさないのです。有限体では、すべての数は他のすべての数で割り切れます。例えば、7は通常3で割り切れません。しかし、5つの元を持つ有限体では割り切れます。なぜなら、この有限体では7は12と同じ数であり、時計の文字盤で2になるからです。つまり、7を3で割ると12を3で割るのと同じになり、12を3で割ると4になります。

このため、有限体における双子素数予想は素多項式、つまり x ² + 1 のような数式に関するものとなります。

例えば、有限体に1、2、3という数が含まれているとします。この有限体上の多項式はこれらの数を係数として持ち、「素数」多項式とは、より小さな多項式に因数分解できない多項式を指します。つまり、x ² + x + 2 は因数分解できないため素数ですが、x ² − 1 は素数ではありません。これは (x + 1) と (x − 1) の積です。

素多項式の概念を理解したら、双子素多項式について考えるのは自然な流れです。双子素多項式とは、両方とも素であり、かつ一定の差で差がある多項式のペアのことです。例えば、多項式 x ² + x + 2 は素であり、x ² + 2x + 2 も素です。この2つは多項式 x によって差があります（最初の多項式に x を加えると2番目の多項式が得られます）。

有限体に対する双子素数予想は、x だけでなく任意のギャップだけ異なる双子素数多項式のペアが無限に存在すると予測します。

x の 2 乗 + x + 2 は素数であるため約分できないことを示した図。x の 2 乗 - 1 は... に約分できます。

クリーンカット

有限体や素多項式は、一見不自然で、数一般の学習にはあまり役に立たないように思えるかもしれません。しかし、それらはハリケーンシミュレーターに似ています。つまり、より広い世界における現象についての洞察を与えてくれる、自己完結的な宇宙なのです。

「整数と多項式の間には古くからの類似点があり、これによって、潜在的に非常に難しい整数に関する問題を、同様に潜在的に難しいが、おそらくより扱いやすい多項式に関する問題に変換することができます」とシュスターマン氏は述べた。

有限体は1940年代に一躍注目を集めました。アンドレ・ヴェイユが少数体系の算術を整数体系の算術へと正確に変換する方法を考案したのです。ヴェイユはこの関連性を劇的な効果で利用しました。彼は、数学における最も重要な問題と言えるリーマン予想を、有限体上の曲線の設定という解釈を通して証明しました（この問題は幾何学的リーマン予想として知られています）。この証明と、ヴェイユが提唱した一連の予想（ヴェイユ予想）によって、有限体は数学的発見の宝庫として確立されました。

ヴェイユの重要な洞察は、有限体という設定において、幾何学の手法を真に力強く用いて数に関する問いに答えることができるという点にあった。「これは有限体特有の特徴の一つです。解きたい問題の多くは、幾何学的に言い換えることができるのです」とシュスターマンは述べた。

このような状況で幾何学がどのように生じるかを理解するために、各多項式を空間上の点として想像してみましょう。多項式の係数は、多項式の位置を定義する座標として機能します。1、2、3の有限体に戻ると、多項式2x + 3は2次元空間の点(2, 3)に位置します。

しかし、最も単純な有限体でさえ、無限の数の多項式が存在します。式の最大指数、つまり次数を大きくすることで、より複雑な多項式を構築できます。今回の場合、多項式 x ² − 3x − 1 は3次元空間上の点で表されます。多項式 3x ⁷ + 2x ⁶ + 2x ⁵ − 2x ⁴ − 3x ³ + x ² − 2x + 3 は8次元空間上の点で表されます。

新しい研究では、この幾何学的空間は、与えられた有限体に対して与えられた次数の多項式をすべて表します。そこで疑問が生じます。素多項式を表すすべての点を分離する方法はあるのでしょうか？

SawinとShustermanの戦略は、空間を2つの部分に分割することです。一方の部分には、偶数の因数を持つ多項式に対応するすべての点が配置されます。もう一方の部分には、奇数の因数を持つ多項式に対応するすべての点が配置されます。

これだけでも問題は単純化されます。有限体における双子素数予想は、ただ一つの因数を持つ多項式に関するものです（素数が一つの因数、つまり自分自身を持つのと同じです）。そして、1は奇数なので、空間のうち偶数の因数を持つ部分を完全に無視することができます。

鍵は分割にあります。球面のような2次元の物体の場合、それを二つに分けるのは1次元の曲線です。赤道が地球の表面を半分に分けるのと同じです。高次元空間は常に、次元が一つ少ない物体で分割できます。

しかし、多項式空間を分割する低次元の形状は、赤道ほど簡潔ではありません。それらはメビウス関数と呼ばれる数式によって表されます。メビウス関数は、多項式を入力として、その多項式が偶数個の素因数を持つ場合は1を、奇数個の素因数を持つ場合は-1を、そして重複因数のみを持つ場合は0（16を2×2×2×2に因数分解する方法）を出力します。

メビウス関数が描く曲線は激しくねじれ、多くの場所で交差しています。これらの交差箇所（特異点と呼ばれる）は特に解析が困難です（そして、それらは繰り返される素因数を持つ多項式に対応します）。
サウィンとシュスターマンの最大の革新は、低次元のループをより短いセグメントに分割する正確な方法を発見したことです。セグメントは完全なループよりも研究が容易でした。

奇数の素因数を持つ多項式を分類した後（最も困難なステップ）、サウィンとシュスターマンは、そのうちどれが素数でどれが双子素数であるかを判断する必要がありました。そのために、彼らは数学者が通常の数の中の素数を調べるために用いるいくつかの公式を適用しました。

ソーウィンとシュスターマンは、この手法を用いて、特定の有限体における素多項式に関する2つの主要な結果を証明しました。
まず、有限体における双子素数予想は成り立ちます。つまり、任意の間隔で区切られた双子素多項式のペアは無限に存在するということです。

第二に、そしてさらに重要な点として、この研究は、与えられた次数の多項式の中に、双子素数多項式がいくつ見つかると予想されるかを正確に数えることを可能にします。これは、数直線上の十分に長い区間内に双子素数がいくつ含まれるかを知ることに似ています。数学者にとっては夢のような成果と言えるでしょう。

「これは、整数全体にわたって何が成り立つと期待されるかを定量的に類推した初めての研究であり、非常に際立ったものです」とテルアビブ大学のジーヴ・ルドニック氏は述べた。「これまでこのような研究はありませんでした。」

ソーウィンとシュスターマンの証明は、アンドレ・ヴェイユが有限体上の曲線におけるリーマン予想を証明してから約80年が経った今でも、数学者たちが彼の先導を精力的に追っていることを示しています。双子素数予想を追求する数学者たちは、今後、ソーウィンとシュスターマンの研究に目を向け、彼らもまた深いインスピレーションの源泉となることを期待するでしょう。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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