壁を駆け上がる方法—物理学を使って！

これはスーパーヒーロー映画に出てくるようなものか、それともビデオゲームに出てくるようなものか、私には判断できません。このクレイジーなスタントを集めた動画では、ある男が壁から壁へと飛び移り、二つの壁の間を跳び越える方法を何とか見つけ出しています。もちろん「何とか」というのは、物理的な意味で、この動きは運動量の原理と摩擦に基づいています。あなたはできるでしょうか？おそらく無理でしょう。でも、少なくとも計算はできるはずです。

この動きの鍵となるのは、運動量原理です。運​​動量は物体の質量と速度の積です。運動量原理によれば、運動量を変化させるには、物体に作用する正味の力が必要です。これは次のベクトル方程式で表すことができます。ここで、運動量を表す記号として「p」が使われていることに注意してください。

これがどのように機能するかを示す簡単な例はどうでしょうか。鉛筆、ボール、サンドイッチなどの物体を取り、腕を伸ばして持ちます。次に、物体を放します。手が物体 (私の頭の中では、それはサンドイッチです) から離れると、作用している力は 1 つだけになります。それは、下向きに引っ張る重力です。この力は物体に何をするでしょうか。物体の運動量が力の方向に変えられます。そのため、0.1 秒後には、物体の運動量は下向きになり、つまり速度が上がります (質量は一定であるため)。次の 0.1 秒後には、物体はさらに速度を上げます。実際、サンドイッチは、別の力 (床から) がサンドイッチに作用して速度を落とすまで、落下するにつれて速度を上げ続けます。心配しないでください。5 秒ルールが終わる前に手に入れれば、まだ食べることができます。

壁を駆け上がるために必要な2つ目の重要な概念は摩擦です。摩擦とは、2つの面が押し合わされたときに物体に作用する力です。この力のかなり信頼性の高いモデルとして、摩擦力は相互作用する面に平行に作用し、その大きさは2つの面が押し合わされた力に比例する、ということができます。これは次の式でモデル化されます。

この式は、2つの表面間の最大摩擦力を表します。式中、μ _{s は}2つの物質の相互作用によって決まる静摩擦係数であり、Nは2つの表面を押し付ける力（これを法線力と呼びます）です。

つまり、壁を駆け上がるにはこの摩擦力が必要だということがわかります。しかし、垂直の壁をそのまま駆け上がることはできません。足と壁の間には垂直方向の力が全く（あるいはほとんど）働かないからです。垂直方向の力が働かないと、摩擦力もなくなります。これは良くありません。転んでしまいます。

さて、動画をご覧ください。この選手は、まず壁に向かって動き、次に壁から離れることで、壁を駆け上がることができました。これは、（方向が変わったため）運動量の変化が起こり、その運動量を変化させる力が生じることを意味します。この場合、力は壁から生じています。問題は、壁から離れて接触を失う前に、壁を押すことができるのはほんの短い時間だけであるということです。ここでうまく機能しているのは、反対側にも壁があり、ランナーが壁の位置を変えて同じ動きを繰り返すことができるからです。

ここに図がありますので、役に立つと思います。

壁ジャンプの運動量の変化と時間間隔を推定できれば、壁からの力と必要な摩擦力を計算できます。さあ、やってみましょう。

この分析のためには、各フレームにおける人間のおおよその位置を把握する必要がありますが、これはビデオ解析で行うことができます。物体の大きさについては多少推測していますが、摩擦の大まかな値を算出するには十分近い値だと思います。カメラは動きに合わせてズームやパンしますが、ソフトウェアで補正できます。結果はこんな感じです。

でも、私が見たいのはそれではありません。運動量の変化を見たいのです。ここでは、この壁登り中のxモーションだけを見てみましょう。

この位置-時間グラフの傾きから、壁との衝突前のx速度は1.39 m/sと算出できます。衝突後、男のx速度は-2.23 m/sです。人間の質量を75 kgと仮定すると、x方向の運動量の変化は-271.5 kg/s*m/sとなります。また、グラフを見ると、相互作用時間は約0.2秒であることがわかります。x方向の運動量の変化を時間間隔で割ると、平均x方向の力は1357.5ニュートン（負のx方向）となります。帝国の慣習では、これは305ポンドの力に相当します。確かに大きな力ですが、それはほんの短い時間です。

この力はx方向なので、足と壁の間を押している法線方向の力と同じです。上記の摩擦モデルを用いると、摩擦係数を求めることができます。摩擦の大きさは重量（75 kg x 9.8 N/kg = 735 N）と等しいからです。つまり、静摩擦係数の最小値は0.54でなければなりません（この係数には単位がありません）。そして、これで十分です。この摩擦​​係数表には、コンクリート上のゴムの摩擦係数が0.6から0.85の範囲で記載されているので、これは全くあり得ることです。

それでも、何でもかんでも「ありそうな」動きを試すのはお勧めしません。ありそうな動きから可能な動きになるまでには、長い時間がかかります。