ダニエル・ラーセンは中学生の頃からクロスワードパズルのデザインを始めました。チェス、プログラミング、ピアノ、バイオリンといった他の趣味に加えて、この趣味も重ねていきました。彼はワシントンD.C.近郊で開催されたスクリップス・ナショナル・スペリング・ビーに、地区大会で優勝し、2度出場権を獲得しました。「彼は何かに集中すると、成功するまでひたすらひたすらやり続けるんです」と、ラーセンの母親であるアイェレット・リンデンストラウスさんは言います。彼が最初に作ったクロスワードパズルは大手新聞社に却下されましたが、彼は諦めずに続け、ついには新聞社に躍り出ました。現在、彼は13歳でニューヨーク・タイムズ紙にクロスワードパズルを掲載した最年少記録を保持しています。 「彼はとても粘り強いんです」とリンデンストラウスさんは言います。
それでも、ラーセン氏の最近の執着は、これまでのほとんどのプロジェクトとは違っていて、「より長く、より強烈だった」と彼女は言う。1年半以上もの間、ラーセン氏はある数学の問題のことを考えずにはいられなかった。
この問題は、数学者カール・フリードリヒ・ガウスが数学における最も重要な問題の一つと考えていた、より広範な問題に端を発しています。それは、素数（1とその数自身でしか割り切れない数）と合成数をいかに区別するかという問題です。数学者たちは何百年もの間、これを効率的に行う方法を模索してきました。この問題は現代暗号の文脈でも重要視されるようになりました。今日最も広く使用されている暗号システムの中には、巨大な素数を使った演算を行うものもあるからです。
1世紀以上前、高速で強力な素数判定法の探求の中で、数学者たちは厄介な数群に遭遇しました。それは、実際には素数ではないにもかかわらず、素数であると判定してしまう数です。これらの擬素数はカーマイケル数として知られ、特に理解が困難でした。例えば、数学者がこれらの数が無限に存在することを証明したのは、1990年代半ばになってからのことでした。これらの数が数直線上でどのように分布しているかについて、より詳細な情報を提供することは、さらに大きな課題となっています。
そこにラーセンが、まさにそれに関する新たな証明をもたらした。それは数論の別の分野における画期的な研究に触発されたものだった。当時、彼はまだ17歳だった。
スパーク
インディアナ州ブルーミントンで育ったラーセンは、幼い頃から数学に惹かれていました。両親は数学者で、幼い頃から彼と姉に数学を教えてくれました（姉は現在、数学の博士号取得を目指しています）。リンデンストラウス教授は、ラーセンが3歳の頃、無限の本質について哲学的な疑問を投げかけ始めたと回想します。「この子は数学的な思考力を持っていると思いました」と、インディアナ大学教授のリンデンストラウス教授は語ります。
そして数年前――スペリングとクロスワードパズルに熱中していた頃――彼は、無名の数学者、張一堂（イータン・チャン）に関するドキュメンタリー番組に出会った。張は2013年、連続する素数の差に上限を定める画期的な結果を証明し、一躍有名になった。ラーセンの中で何かがカチッと音を立てた。彼は数論、そして張をはじめとする数学者たちが未だに解決を待ち望んでいた関連問題、双子素数予想について考えずにはいられなかった。双子素数予想とは、差がわずか2の素数のペアが無限に存在するという予想だ。
ビデオ：ダニエル・ラーセンはカーマイケル・ナンバーに関する昔からの疑問をそのままにしなかった。「ただ私の頑固さが原因だった」と彼は言った。
張氏の研究により、差が7000万未満の素数のペアは無限に存在することが示されましたが、その後、他の研究者たちがこの限界をさらに引き下げようと試みました。数か月後、数学者のジェームズ・メイナード氏とテレンス・タオ氏はそれぞれ独立して、素数間の差に関するさらに強力な命題を証明しました。それ以来、その差は246にまで縮小しました。
ラーセンはメイナードとタオの研究の根底にある数学の一部を理解したかったが、「私にはほとんど不可能だった」と彼は言う。彼らの論文はあまりにも複雑だったのだ。ラーセンは関連研究を読もうとしたが、やはり理解不能だった。彼は次から次へと結果を読み進め、ついに2021年2月、美しく理解しやすい論文に出会った。そのテーマはカーマイケル数、つまり時として素数と見紛う奇妙な合成数だった。
プライム以外
17世紀半ば、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは、友人であり腹心でもあったフレニクル・ド・ベッシーに宛てた手紙の中で、後に「小定理」として知られる定理を述べました。Nが素数ならば、 bが何であっても、b = N - bは常にNの倍数です。例えば、7は素数なので、2 = 7 - 2（126）は7の倍数です。同様に、3 = 7 - 3も7の倍数です。
数学者たちは、与えられた数が素数か合成数かを完全に判定できる可能性を見出しました。Nが素数であれば、b N – bは常にNの倍数であることを彼らは知っていました。では、逆も また真だとしたらどうでしょうか？つまり、 bがどのような値であっても、 b N – bがNの倍数であれば、Nは素数でなければならないのでしょうか？
残念ながら、非常に稀なケースでは、 N がこの条件を満たしながらも合成数となる場合があることが判明しました。そのような最小の数は561です。任意の整数bについて、b ≒ 561 - bは常に561の倍数です。ただし、561は素数ではありません。このような数は、数学者ロバート・カーマイケルにちなんで名付けられました。彼は1910年に最初の例を発表したとよく言われています（ただし、チェコの数学者ヴァーツラフ・シメルカは1885年に独自に例を発見しています）。
ラーセンは証明を終えると、数論の第一人者たちに草稿を送った。驚いたことに、彼らはそれを読んで返信をくれた。写真：キャサリン・テイラー／クォンタ・マガジン
数学者たちは、数論における最も基本的な対象である素数に非常によく似たこれらの数について、より深く理解したいと考えていました。カーマイケルの結果の10年前、1899年に、別の数学者アルウィン・コルセルトが同等の定義をすでに提示していたことが判明しました。彼は単に、その定義に当てはまる数が存在するかどうかさえ知らなかったのです。
コルセルトの基準によれば、数Nがカーマイケル数となるのは、3 つの特性を満たす場合のみです。まず、複数の素因数を持つ必要があります。次に、素因数は重複できません。3 番目に、Nを割り切るすべての素数pについて、p – 1 もN – 1 を割り切ります。もう一度、数 561 を考えてみましょう。これは 3 × 11 × 17 に等しいため、コルセルトのリストにある最初の 2 つの特性を明らかに満たしています。最後の特性を示すには、各素因数から 1 を引いて、2、10、16 を取得します。さらに、561 から 1 を引きます。これら 3 つの小さい数はすべて 560 の約数です。したがって、数 561 はカーマイケル数です。
数学者たちはカーマイケル数が無限に存在すると疑っていましたが、素数と比較すると比較的少ないため、その存在を特定することは困難でした。そして1994年、レッド・アルフォード、アンドリュー・グランビル、カール・ポメランスは画期的な論文を発表し、ついにこれらの擬素数が無限に存在することを証明しました。
残念ながら、彼らが開発した技術では、カーマイケル数がどのようなものなのかについては何も言えなかった。数直線上に密集して現れ、その間に大きな隙間があるのだろうか？それとも、短い間隔で必ずカーマイケル数を見つけることができるのだろうか？「カーマイケル数が無限にあることを証明できるなら、カーマイケル数の間に大きな隙間はなく、比較的十分な間隔が空いているはずであることを証明できるはずだ」とグランビルは言った。
特に、彼と共著者たちは、この考えを反映した命題、すなわち、十分に大きな数Xが与えられた場合、 Xと2Xの間には常にカーマイケル数が存在するという命題を証明しようとした。「これは、カーマイケル数がいかに普遍的であるかを表す別の言い方です」と、関連研究を行っている防衛分析研究所の数学者、ジョン・グランサムは述べた。
しかし、何十年もの間、誰もそれを証明できませんでした。アルフォード、グランビル、ポメランスが開発した手法は、「カーマイケル数が多数存在することを示すことはできましたが、それがどこに存在するかについては、実際にはあまり制御できませんでした」とポメランスは言います。
そして2021年11月、グランヴィルは当時17歳で高校3年生だったラーセンからのメールを開いた。論文が添付されており、グランヴィルが驚いたことに、それは正しい内容だった。「決して読みやすい内容ではありませんでした」と彼は言った。「しかし、読んでみると、彼が決して冗談を言っているわけではないことがはっきりと分かりました。彼には素晴らしいアイデアがありました。」
後期版の論文を読んだポメランス氏も同意見だ。「彼の証明は実に先進的です」と彼は言った。「どんな数学者でも、これを書いたことを誇りに思うような論文でしょう。ところが、なんと高校生がそれを書いているんです」
ラーセンの証明の鍵となったのは、そもそも彼をカーマイケル数に惹きつけた研究、すなわちメイナードとタオによる素数ギャップに関する結果であった。
あり得ないが、不可能ではない
ラーセンが、短い区間では常にカーマイケル数を見つけることができることを示そうとした時、「それはあまりにも明白な真実なので、証明するのはどれほど難しいことかと思われた」と彼は言った。そしてすぐに、それが実に困難である可能性があることに気づいた。「これは現代の技術力を試す問題だ」と彼は言った。
ラーセンはカーマイケル数に関して、彼が証明しようとしていたよりも厳しい制約を確立した。写真：キャサリン・テイラー／クォンタ・マガジン
1994年の論文で、アルフォード、グランビル、ポメランスはカーマイケル数を無限に生成する方法を示しました。しかし、彼らはカーマイケル数を構成する素数の大きさを制御することができませんでした。ラーセンは、比較的大きさの近いカーマイケル数を構成するために、まさにそれを行う必要がありました。この問題の難しさは、彼の父親であるマイケル・ラーセンを心配させました。「不可能だとは思いませんでしたが、彼が成功する可能性は低いと思いました」と彼は言います。「父がどれだけの時間を費やしているかを見て…そして、これほどの努力を注ぎ込んでも、成功しないのは父にとって壊滅的な打撃になるだろうと感じました。」
それでも、彼は息子を思いとどまらせようとしない方が賢明だと分かっていた。「ダニエルは本当に興味のあることに熱中したら、どんな困難があっても最後までやり遂げるんです」と彼は言った。
そこでラーセンはメイナードの論文に戻り、特に、十分な数の特定の列をとると、その数の部分集合は必ず素数になるということを示す研究に取り組んだ。ラーセンはメイナードの手法を改良し、アルフォード、グランヴィル、ポメランスらの手法と組み合わせた。これにより、最終的に得られる素数の大きさが一定でなくなることを保証し、カーマイケル数を所望の区間内に収めるのに十分な大きさにまで変化させることができた。
「彼は私たちがこれまで経験したことのないほど物事をコントロールしている」とグランヴィルは語った。そして、彼はメイナードの研究を特に巧みに利用することでこれを達成した。「素数間の短い間隔にこの進歩を用いるのは…容易ではありません」と、フィンランドのトゥルク大学の数学者カイサ・マトマキは述べた。「彼がそれをカーマイケル数に関するこの問題と組み合わせることができたのは、実に素晴らしいことです。」
実際、ラーセンの議論は、カーマイケル数が必ずXと2Xの間に現れることを証明しただけではありません。彼の証明は、はるかに小さな区間にも適用できます。数学者たちは今、この証明がこれらの奇妙な数の振る舞いの他の側面を明らかにするのにも役立つことを期待しています。「これは全く新しい考え方です」と、サウスカロライナ州ウォフォード大学で擬素数を研究している数学者トーマス・ライトは述べています。「カーマイケル数についての証明方法を大きく変えるものです。」
グランサム氏も同意した。「これで、今まで考えもしなかったようなことが可能になるんです」と彼は言った。
一方、ラーセンはマサチューセッツ工科大学（MIT）の1年生になったばかりだ。次にどんな問題に取り組むかはまだ決まっていないが、世の中にあるものを学びたいと熱心に考えている。「とにかく授業を受けて…新しいことにオープンマインドでいようと努めているところです」と彼は言う。
「彼は学部教育を受けずにこれだけのことを成し遂げたんです」とグランサム氏は言った。「大学院でどんなことを成し遂げるのか、想像するしかありません。」
エミリー・ブーダー、ノア・ハットン、テイラー・ヘス、ルイ・ブラズによるクアンタ・マガジンのビデオ
オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。
