算術の原子として、素数は常に数直線上で特別な位置を占めてきました。今回、オックスフォード大学の26歳の大学院生、ジャレッド・デューカー・リヒトマン氏は、よく知られた予想を解決し、素数を特別なものにしている、そしてある意味では最適なものにしているという新たな側面を明らかにしました。「この発見は、素数がどのような点でユニークであり、そして数集合というより広い宇宙とどのような関係にあるかを理解する、より広い文脈を与えてくれます」と彼は述べています。
この予想は原始集合、つまりいかなる数も他の数を割り切れない数列を扱っています。素数は1とそれ自身でしか割り切れないので、すべての素数の集合は原始集合の一例です。また、ちょうど2個、3個、あるいは100個の素因数を持つすべての数の集合も原始集合の一例です。
原始集合は1930年代に数学者ポール・エルデシュによって導入されました。当時、原始集合は古代ギリシャに起源を持つ特定の数群（完全数と呼ばれる）について何かを証明しやすくするための単なる道具に過ぎませんでした。しかし、原始集合はすぐにそれ自体が興味深い対象となり、エルデシュは生涯を通じて何度も原始集合に再び取り組むことになりました。
なぜなら、定義は単純明快であるにもかかわらず、原始集合が実に奇妙な存在であることが判明したからだ。その奇妙さは、原始集合がどれほど大きくなるかという単純な問いで捉えることができる。1000までのすべての整数の集合を考えてみよう。501から1000までのすべての数（集合の半分）は原始集合を形成する。なぜなら、どの数も他の数で割り切れないからである。このように、原始集合は数直線のかなりの部分を占める可能性がある。しかし、すべての素数の列のような他の原始集合は、信じられないほどまばらである。「これは、原始集合が実際には非常に広範なクラスであり、直接的に把握するのが難しいことを示しています」とリヒトマン氏は述べた。
集合の興味深い性質を捉えるために、数学者は様々な大きさの概念を研究します。例えば、集合に含まれる数の数を数えるのではなく、次のようなことをするかもしれません。集合に含まれるすべての数nについて、1/( n log n )という式に代入し、すべての結果を合計します。例えば、集合{2, 3, 55}の大きさは、1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)となります。
エルデシュは、無限集合を含むあらゆる原始集合について、その和、すなわち「エルデシュ和」は常に有限であることを発見した。原始集合がどのような形をしているかに関わらず、そのエルデシュ和は常にある数以下となる。そのため、その和は「少なくとも表面上は全く異質で曖昧に見える」とリヒトマン氏は述べたが、ある意味では「原始集合の混沌の一部を制御している」ため、適切な尺度となるのだ。
この棒を手にした今、次に当然浮かんでくる疑問は、エルデシュ和の最大値はいくらになるか、ということです。エルデシュは、エルデシュ和は素数の和であると予想しており、その値は約1.64となります。この観点から見ると、素数は一種の極限状態を構成しています。
ジャレッド・デューカー・リヒトマン氏はこの問題を「過去4年間ずっと付きまとってきた」と呼んだ。
写真: Ruoyi Wang/Quanta Magazine数十年にわたり、数学者たちは証明に向けて部分的に進歩を遂げてきました。例えば、彼らはこの予想が特定の種類の原始集合に対して成り立つことを示しました。
それでも、「ジャレッドが取り組み始めるまでは、それほど近づいているようには感じられませんでした」と、ブリティッシュコロンビア大学の数学者で、関連問題に取り組んできたグレッグ・マーティンは言う。ハンガリーのエトヴェシュ・ロラーンド大学の数学者で、エルデシュと頻繁に共同研究を行っているアンドラーシュ・サルコジも同意見だ。「確かに手の届かないところにあるように思えました」と彼は言った。
リヒトマン氏は2018年、ダートマス大学の学部生最後の年に原始集合予想の研究を始めました。「すぐにこの疑問に魅了されました。こんなことがどうして成り立つのか、とても不思議でした」と彼は言います。「この4年間、ずっと私の心の支えでした。」
2019年、マーティンとダートマス大学での指導教官カール・ポメランス（ユトレヒト大学の数学者でポメランスの元教え子であるローラ・トンプソンによると、ポメランスは実質的に「彼と研究するために引退から戻ってきた」）は、原始集合のエルデシュ和が約1.78を超えないことを発見した。「それほど外れているわけではない」とマーティンは言った。「素数に対する予想より10%ほど大きいだけだ」
リヒトマンとポメランスは、与えられた原始集合の各数に新しい倍数列を関連付けることで、この定数を得ました。再び原始集合{2, 3, 55}を考えてみましょう。数2には、すべての偶数の列が関連付けられます。数3には、2の倍数ではないすべての3の倍数が関連付けられます。そして、数55（5 × 11）には、乗数（55を乗じる数）の最小の素因数が11となるような55の倍数がすべて関連付けられます（したがって、2、3、5、7で割り切れる乗数は除外されます）。リヒトマンはこれを、辞書で単語に索引を付ける方法に例えています。ただし、各列を整理するために文字ではなく素数が使用される点が異なります。
メリル・シャーマン/クォンタ・マガジン提供
次に、彼とポメランスは、これらの倍数列の「密度」、つまり数直線上のどの程度の面積を占めるかを考察した。（例えば、偶数列の密度は1/2である。なぜなら、偶数は全数の半分を占めるからである。）彼らは、元の集合が原始的な集合であれば、それに関連する倍数列は重なり合わず、したがってそれらの合計密度は最大でも1、つまり全整数の密度と同じになることに気づいた。
この観察は関連性があった。なぜなら、19世紀の数学者フランツ・メルテンスによる定理によって、リヒトマンとポメランスは原始集合のエルデシュ和をこれらの密度を用いて再解釈することができたからである。メルテンスの定理によれば、ある特別な定数（およそ1.78に等しい）に、これらの倍数の合成密度に相当する項を乗じると、原始集合のエルデシュ和の最大値が得られる。そして、合成密度は最大で1であったため、リヒトマンとポメランスは原始集合のエルデシュ和が最大で約1.78であることを証明した。
「これはエルデシュの当初のアイデアのバリエーションだが、厳密ではないがそれほど悪くもない上限を得るための非常に巧妙できちんとした方法だ」とオックスフォード大学の数学者ジェームズ・メイナード氏は語った。
そして数年間、それが数学者たちの精一杯の成果のように思えた。しかし、その最大値を1.64まで下げる方法は明確ではなかった。その間、リヒトマンは卒業し、オックスフォード大学に移り、メイナードの指導の下、博士号取得を目指した。そこで彼は主に素数に関する他の問題に取り組んできた。
「彼がこの問題についてかなり考えていたことは知っていました」とメイナード氏は言う。「しかし、彼が突然、何の前触れもなく、完全な証明を思いついたときは本当にショックでした。」
リヒトマンは、比較的小さな素因数を持つ数値については、以前のポメランスとの議論がまだ有効であることに初めて気付きました。この場合、定数 1.78 を 1.64 よりはるかに低くすることができることを示すのは比較的簡単でした。
しかし、比較的大きな素因数を持つ数、つまりある意味で素数に「近い」数となると話は別だ。リヒトマンは、これらの数に対処するために、各数に1つの倍数列だけでなく、複数の倍数列を関連付ける方法を見つけた。以前と同様に、これらの倍数列の総密度は最大で1だった。しかし今回は、「これらの他の倍数は雑草のように生い茂り、空間の一部を占領してしまう」とリヒトマンは述べた。
618 (2 × 3 × 103) という数を例に挙げましょう。通常、この数には 618 の倍数をすべて関連付け、その乗数の最小の素因数は 103 となるでしょう。しかし、省略された小さな素因数の一部を使って数列を構成することもできます。例えば、元の倍数すべてを含む数列でありながら、乗数が 5 で割り切れる 618 の倍数も許容することができます。(いくつかの制約によって、使用できる小さな素因数が異なります。)
これらの追加の倍数が存在するということは、元の倍数の合計密度（メルテンスの定理で使用される量）が実際には 1 未満であることを意味します。リヒトマンは、その密度がより正確に制限される方法を見つけました。
次に彼は、原始集合の最悪のシナリオがどのようなものになるかを注意深く決定した。つまり、大きな素因数を持つ数と小さな素因数を持つ数の間でどのようなバランスが取れるかである。証明の2つの部分をつなぎ合わせることで、そのようなシナリオにおけるエルデシュ和は1.64未満になることを示した。
「数字的に言えば、まさに決定的な瞬間だ」とメイナードは言った。「幸運なのか何なのか分からないが、数字的にはこれで十分だ」
リヒトマンは2月にこの証明をオンラインで公開した。数学者たちは、この研究が初等的な議論のみに基づいていることが特に印象的だと指摘した。「彼は、このような突飛な仕組みが開発されるのを待っていたわけではありません」とトンプソン氏は述べた。「彼はただ、本当に賢いアイデアをいくつか持っていたのです。」
これらの考えによって、素数は原始集合の中でも例外的な存在として確固たる地位を築きました。エルデシュ和は素数の中でも最高峰の座を占めているのです。「私たちは皆、素数を特別なものだと考えています」とポメランス氏は言います。「そして、このことが素数の輝きをさらに増しているのです。」
オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。
