素数を数える新しい方法

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

新たな証明により、数学者は「算術の原子」である素数の隠された秩序の理解に一歩近づいた。

素数（それ自身と1でしか割り切れない数）は、数学における最も基本的な構成要素です。同時に、最も神秘的な数でもあります。一見すると、数直線上にランダムに散らばっているように見えます。しかし、もちろん、素数はランダムではありません。完全に決まっており、詳しく観察すると、様々な奇妙なパターンが現れます。数学者たちは何世紀にもわたってその解明に取り組んできました。素数がどのように分布しているかをより深く理解できれば、数学の宇宙の広大な領域を解明できるでしょう。

しかし、数学者たちは素数がどこに位置しているかを大まかに示す公式を持っているものの、正確に特定することはできません。そのため、より間接的なアプローチを取らざるを得ませんでした。

紀元前300年頃、ユークリッドは素数が無限に存在することを証明しました。数学者たちはそれ以来、彼の定理を基に、追加の条件を満たす素数について同じ命題を証明してきました。（簡単な例：7を含まない素数は無限に存在するか？）時を経るにつれて、数学者たちはこれらの条件をますます厳しくしてきました。このようにますます厳格になる制約を満たす素数が依然として無限に存在することを示すことで、彼らは素数がどこに存在するかについてより深く理解できるようになりました。

しかし、こうした主張を証明するのは非常に困難です。「そのような結果は、世の中にほとんどありません」と、フィンランドのトゥルク大学のヨニ・テラヴァイネン氏は述べています。

今回、オックスフォード大学のベン・グリーンとコロンビア大学のメータブ・ソーニーという二人の数学者が、特に難しいタイプの素数について、まさにこの命題を証明しました。10月にオンラインで公開された彼らの証明は、数学者の素数に関する理解を深めるだけではありません。数学の全く異なる分野のツールセットも活用しており、それらのツールが数学者が想像していたよりもはるかに強力であり、他の分野への応用も期待できることを示唆しています。

「素晴らしいですね」とトロント大学のジョン・フリードランダー氏は語った。「彼らがこんなことをしたなんて、本当に驚きました。」

試練のセット

数学者は、興味をそそられる程度に複雑でありながら、研究を進めるには十分単純な素数族を研究する傾向があります。例えば、500単位離れた素数が無限に存在することを証明しようとするかもしれません。あるいは、他の数の平方を足し合わせることで、無限に多くの素数を作れることを証明しようとするかもしれません。

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この最後の制約は特に有用で、何世紀にもわたる数学の進歩を導いてきました。1640年、ピエール・ド・フェルマーは、2つの整数を2乗して足し合わせることで定式化できる素数は無限に存在すると予想しました（例えば、素数13は2 ² + 3 ²と表すことができます）。後にレオンハルト・オイラーがこれを証明しました。しかし、問題を少しだけ変更すると――例えば、2乗する数のうちの1つが奇数、あるいは完全平方数である必要があると――問題ははるかに難しくなります。「集合に制約を課せば課すほど、その中に素数を見つけるのは難しくなります」とグリーンは言います。

19世紀には、こうした命題の研究が現代数論の発展に大きく貢献しました。20世紀には、ラングランズ・プログラムという、これまでで最も野心的な数学的研究の一つの着想につながりました。そして21世紀においても、こうした素数に関する研究は、新たな手法と洞察を生み出し続けています。

2018年、ラトガース大学のフリードランダーとヘンリック・イワニエツは、 p ² + 4 q ^{2という形の素数が無限に存在するかどうかを問いました。ただし、}pとqは両方とも素数でなければなりません（例えば、41 = 5 ² + 4 × 2 ²）。この制約は、特に扱いが難しいことが判明しました。しかし、数学者がこの問題を解くことができれば、素数に対する新たなレベルの制御に成功することになり、まさに彼らがずっと望んでいたことを実現できるでしょう。

実りある訪問

グリーンもソーニーも、この種の素数計算ゲームをプレイしたことはなかった。しかし、二人とも素数が生み出す奇妙なパターンを研究した経験はあった。

7月、二人の数学者はエディンバラでの会議で出会った。大学院を卒業したばかりのソーニーは、グリーンをずっと尊敬していた。20年前にグリーンが証明した画期的な結果は、「私がこの分野に足を踏み入れるきっかけの一つでした」とソーニーは語る。「『なんてことだ、どうしてそんなことができるんだ？』と思いました」。グリーンもまた、若い数学者に感銘を受けていた。「メータブは並外れた、まさに並外れた数学者です」と彼は言った。「彼は何事も知っているんです」

二人は協力することにした。ただ、取り組むべき適切な問題を見つける必要があった。議論を重ねた結果、彼らはフリードランダーとイワニエツの予想にたどり着いた。

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グリーンはソーニーをオックスフォードに1週間招待した。彼らは、数学者が同様の予想を証明するために、通常、特定の計算手法に頼ることを知っていた。しかし、彼らの問題における素数は非常に厳密に定義されていたため、グリーンとソーニーはこの伝統的な手法をうまく活用する方法を見つけられなかった。

代わりに彼らは、より回りくどい方法、つまり数学的なチェスの一手のようなものでこの予想を証明しようと考えた。しかしまず、そもそもその一手が許されていたことを証明しなければならなかった。

ソーニー氏の訪問が終わる頃には、彼とグリーン氏はその方法を解明し、予想を証明することに成功しました。そして、その過程で、彼らは数学の別の分野との驚くべき関連性を発見しました。

別のセットを試す

グリーンとソーニーは、2つの素数を2乗して足し合わせた数から素数の個数を直接数えることは不可能でした。しかし、制約を少し緩めたらどうなるでしょうか？彼らは、問題の少し緩いバージョン、つまり2乗する数が「ほぼ」素数であれば解けることに気づきました。

大まかな素数は素数よりもはるかに簡単に見つけることができます。1から200までのすべての大まかな素数を数えたいとしましょう。まず、2、3、5、7といった最も小さな素数をいくつか考えます。次に、それらの素数で割り切れない数をすべてリストアップします。これらの数が大まかな素数です。この場合、合計50個の大まかな素数が得られます。そのうち46個は実際に素数で、残りの4個（121、143、169、187）は素数ではありません。大まかな素数は素数よりもはるかにランダムに分布していないため、扱いがはるかに簡単です。「大まかな素数は、私たちがはるかによく理解している集合です」とソーニー氏は述べています。

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グリーンとソーニーは、2つの素数を2乗して足し合わせることで作れる素数が無限に存在することを証明した。彼らは、この命題が実際に解きたかった問題を示唆していることを示すだけでよかった。つまり、実際の素数の2乗の和として表せる素数も無限に存在するのだ。

しかし、それは自明ではなかった。彼らは、それぞれの問題のバージョンについて、タイプI和とタイプII和と呼ばれる特別な関数群を分析し、どちらの制約を用いても和が等しいことを示す必要があった。そうして初めて、グリーンとソーニーは、情報を失うことなく証明に粗素数を代入できることを知ったのだ。

彼らはすぐにあることに気づいた。それぞれが以前の研究で独自に使用したツールを使えば、これらの和が等しいことを示すことができるのだ。ガワーズノルムとして知られるこのツールは、数十年前に数学者ティモシー・ガワーズによって開発されたもので、関数や数値の集合がどれだけランダムまたは構造化されているかを測定するためのものだ。一見すると、ガワーズノルムは全く異なる数学の領域に属するように思えた。「部外者から見ると、これらが関連していると見分けるのはほとんど不可能です」とソーニーは言った。

しかし、2018年に数学者テレンス・タオとタマー・ジーグラーによって証明された画期的な結果を用いて、グリーンとソーニーはガワーズノルムとタイプIおよびタイプIIの和を関連付ける方法を発見しました。基本的に、彼らはガワーズノルムを用いて、2つの素数集合（粗素数を用いて構築された集合と実素数を用いて構築された集合）が十分に類似していることを示す必要がありました。

結局、ソーニーはそれを行う方法を知っていた。今年初め、彼は別の問題を解くために、ガワーズノルムを用いて集合を比較する手法を開発していた。驚いたことに、この手法は2つの集合のタイプIとタイプIIの合計が同じであることを示すのに十分な精度を持っていた。

これを用いて、グリーンとソーニーはフリードランダーとイワニエツの予想を証明しました。p 2 + 4 q 2と表せる素数は無限に存在するというものです。最終的に、彼らはこの結果を拡張し、他の種類の族に属する素数も無限に存在することを証明しました。この結果は、通常は進展が非常に稀なタイプの問題における画期的な進歩を示しています。

さらに重要なのは、この研究がガワーズノルムが新しい分野において強力なツールとして機能しうることを実証していることです。「少なくとも数論のこの分野において、ガワーズノルムは非常に新しいため、これを用いて様々なことを実現できる可能性があります」とフリードランダー氏は述べています。数学者たちは現在、ガワーズノルムの適用範囲をさらに広げ、素数を数えること以外にも数論における他の問題を解くためにガワーズノルムを用いることを目指しています。

「以前考えていたことが、思いもよらぬ新しい応用例に繋がるのを見るのは、とても楽しいです」とジーグラー氏は語った。「親として、子供を自由にさせて成長させ、彼らが不思議で予想外の行動を起こすのと同じような感じです。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得 て転載されました。