しわのパターンの新しい数学

2018年にミシガン大学で行われた講演の数分後、イアン・トバスコは大きな紙を手に取り、それをくしゃくしゃにして、まるで無秩序な混沌の塊のように見えた。彼はそれを聴衆に見えるように掲げ、念のため少し絞ってから、再び広げた。

「無数の襞が出現し、それがパズルなのです」と彼は言った。「何がこのパターンを、より秩序だった別のパターンから選別しているのでしょうか？」

次に彼は、ミウラ折りとして知られる有名な平行四辺形の折り紙のパターンにあらかじめ折られた2枚目の大きな紙を持ち上げ、平らに押し付けた。彼によると、どちらの紙にもかけた力はほぼ同じだったが、結果は全く異なっていたという。ミウラ折りは幾何学的な領域にきれいに分割されていたが、くしゃくしゃになったボールはギザギザの線が乱雑に見えた。

「これは」と彼は、くしゃくしゃになったシーツに散らばった折り目を指さしながら言った。「これは、ただランダムに乱れただけのもののような気がします」。彼は整然と整えられたミウラ折りを指差した。「しかし、それが本当かどうかはまだはっきりとは分かりません」

この関連性を確立するには、弾性パターンに関する普遍的な数学的ルールを確立する以外に何ものでもない。トバスコ氏は長年この研究に取り組んでおり、薄い弾性材料（変形に反応して元の形状に戻ろうとする物質）を記述する方程式を研究してきた。風船を強く突くと、放射状のしわが星型に現れる。指を離すと、しわは元通りになる。くしゃくしゃになった紙を握ると、手を離すと膨らむ（ただし、完全には元に戻らない）。エンジニアや物理学者は、特定の状況下でこれらのパターンがどのように現れるかを研究してきたが、数学者にとって、これらの実践的な結果はより根本的な疑問を提起する。あるパターンが他のパターンではなく選ばれる原因を、一般的に理解することは可能なのだろうか？

2021年1月、トバスコ氏はこの疑問に肯定的な答えを示す論文を発表しました。少なくとも、滑らかで湾曲した弾性シートを平らに押しつぶすという状況においては（この疑問を探求する明確な方法を提供する）、この問いに答えています。彼の方程式は、一見ランダムに見えるシワの中に「秩序ある」領域、つまり繰り返して識別可能なパターンが存在することを予測しています。また、彼は8月に共同執筆者として発表した論文で、厳密な数学に基づいた新たな物理理論を示しており、現実的なシナリオにおけるパターンを予測できる可能性を示しています。

特筆すべきは、トバスコの研究が、様々な形態のしわが幾何学的問題の解として捉えられることを示唆している点だ。「これは数学的分析の素晴らしい成果です」と、ドイツのボン大学ハウスドルフ数学センターのシュテファン・ミュラー氏は述べた。

この論文は、このありふれた現象の背後にある数学的ルールと新たな理解を、初めて見事に提示している。「ここでの数学の役割は、物理学者が既に立てた仮説を証明することではなく、むしろこれまで体系的な理解がなかった領域に新たな理論を提示することだった」と、ニューヨーク大学クーラント研究所の数学者で、トバスコ氏の大学院指導教官でもあるロバート・コーン氏は述べた。

ストレッチ

しわや弾性パターンの理論構築という目標は古くからある。1894年、ネイチャー誌の論評で、数学者ジョージ・グリーンヒルは理論家（「私たちは何を考えるべきか？」）と、彼らが導き出せる有用な応用（「私たちは何をすべきか？」）との間の相違を指摘した。

19世紀と20世紀には、科学者たちは後者の分野で大きな進歩を遂げ、変形する特定の物体のしわに関する問題を研究しました。初期の例としては、航海船用の滑らかで湾曲した金属板を鍛造する問題や、山の形成と地殻の加熱との関連性を探る試みなどが挙げられます。

近年、数学者と物理学者は、理論と観察を、様々なシワの状況、形状、材料に結び付ける取り組みを拡大しています。「これはここ10年ほど続いています。まず実験を行い、それからそれを理解するための理論を探ろうとしています」とオックスフォード大学の数学者ドミニク・ベラ氏は述べています。「ようやく適切な理解が得られ始めたのはつい最近のことです。」

エキサイティングなマイルストーンもありました。2015年、マサチューセッツ工科大学の機械工学者、ペドロ・レイスは、空気を抜いたシリコンボールに形成される幾何学模様の物理法則を解明しました。彼の研究は、これらのしわが弾性材料の内層と外層の厚さに関係していることを示しました。また、レイスはしわを欠陥とみなすのではなく、新たな機械的挙動を設計する機会となる可能性も指摘しました。そして2017年、ベラは圧力下における薄い弾性フィルムのしわの不安定性に関する分析を主導し、最初の押し込みの深さやその他の具体的な詳細に応じてしわの数がどのように変化するかを明らかにしました。

しかし、これらの進歩は問題の一部しか解決しませんでした。シワの形成過程をより一般的に数学的に理解するには、異なるアプローチが必要でした。トバスコは、このアプローチを前進させる人物となりました。

好奇心に従って

若い頃、トバスコは航空宇宙工学の道に進むことを考えていた。2011年にミシガン大学で同分野の学士号を取得したが、その頃には既に数学的推論と物理システムについて深く考えるようになっていた。数学の博士号も取得しているが、シワの研究という道に導いてくれたのは、現在シラキュース大学に所属する物理学者のジョーイ・ポールセンだと彼は考えている。

ポールセン氏は、キャリアの初期、珍しい材料の特性を研究していた頃、スピンコーティングと呼ばれる技術を用いて超薄ポリマーフィルムを作製・分析する方法を習得しました。まず、微量のポリマーを溶解した特殊な液体材料を作成し、それを回転するプレート上に置きます。液体の大部分は蒸発しますが、ポリマーは均一な厚さに広がって固まります。シラキュース大学に自身の研究室を持つようになってからは、スピンコーティングを応用して、超薄型のカメの甲羅のような曲面フィルムを作成する方法を習得しました。

ある日、彼はこれらの湾曲した膜を静かな水面上に置き、それがどのように表面に沈んでいくかを撮影しました。「純粋に好奇心からでした」と彼は言います。2017年にポールセンとの非公式な会合で、トバスコはこれらの写真に目を留めました。

「彼らは、ランダムで不規​​則なシワのパターンが得られることを示しました。実験を2回行うと、2つの異なるパターンが得られたのです」と、現在イリノイ大学シカゴ校の助教授を務めるトバスコ氏は語る。「私は、殻の形状を考慮した弾性から、これらのパターンを予測する何らかの方法を導き出せるかどうか、そしてそのモデルが殻ごとに変化しないかどうかを調べたかったのです。」

シワのパターンは、エネルギーが最も少ない構成です。つまり、薄膜が平らな表面に定着すると、シワの配置（無秩序かどうかは関係なく）が変化するため、維持するのに最も少ないエネルギーで済む配置を見つけます。「パターンは、そのパターンが現れる際に蓄えられるエネルギーの量によって構成できます」とトバスコ氏は言います。

この指針に導かれ、彼は膜のパターンを決定するいくつかの特性を特定しました。その中には、ガウス曲率と呼ばれる形状の尺度も含まれていました。正のガウス曲率を持つ表面は、ボールの外側のように、それ自体から離れる方向に曲がっています。一方、負の曲率を持つ表面は、プリングルスのチップスのように鞍型をしています。つまり、ある方向に進むと上向きに進み、別の方向に進むと下向きに進みます。

トバスコは、正のガウス曲率を持つ領域では秩序ある領域と無秩序な領域の配置が一種類生成され、負のガウス曲率を持つ領域では別の種類の配置が生成されることを発見した。「詳細な形状はそれほど重要ではありません」とベラ氏は言う。「重要なのはガウス曲率の符号だけです。」

ガウス曲率がシワの形成に重要だとは考えていたが、領域が符号に大きく依存していることは驚きだったとヴェラ氏は述べた。さらに、トバスコ氏の理論はポールセン氏の形状だけでなく、幅広い弾性材料にも適用できる。「シワがどこに現れるかを示す、優れた幾何学的構成です」とヴェラ氏は述べた。「しかし、それがどこから来るのかを理解するのは非常に奥が深く、ある意味驚きです。」

ポールセン氏も同意した。「イアンの理論が非常に見事にやっているのは、パターン全体を一度に提示してくれることです。」

現実のしわ

2018年初頭、トバスコは理論をほぼ完成させていました。しかし、理論上はうまくいったものの、現実世界でそれが正確かどうか確信が持てませんでした。そこでトバスコはポールセンに連絡を取り、共同研究に興味があるかどうか尋ねました。「何かがすぐにうまくいったんです」とポールセンは言います。「イアンの予測を実験画像に重ねてみると、すぐに一致しているのが分かりました。」

その年の産業応用数学協会（Society for Industrial and Applied Mathematics）の材料科学の数学的側面に関する会議で、トバスコはペンシルベニア大学の物理学者、エレニ・カティフォリを紹介された。彼女は閉じ込められた殻におけるしわのパターンの問題を研究し、その結果のデータベースを構築していた。それはまさにセレンディピティの瞬間だった。「イアンの研究が説明する領域を（シミュレーションの中で）見ることができたのです」と彼女は言った。その一致は不思議なほどだった。最初の議論の段階でさえ、トバスコの理論、ポールセンの実験画像、そしてカティフォリのシミュレーションがすべて同じ現象を記述していることは明らかだった。「具体的なものが何もなかった初期段階でさえ、関連性は見えていました。」

当初の興奮はすぐに懐疑的な反応を引き起こした。まるで話が良すぎるように思えた。「彼は数学者で、これらすべてを無次元化しているんです」とポールセンは、トバスコの曲率に関する考えが二次元平面物質をはるかに超えて拡張できることに言及して言った。「私たちは本当に同じシステムを見ているのでしょうか？ 一致しているように見えますが、一致しているべきだったのでしょうか？」

その後2年間、3人の研究者は細部を徹底的に検討し、トバスコの理論が、ポールセンが実験で観察し、カティフォリがコンピューターモデルで発見したシワの配置を実際に、そして正確に予測していることを示しました。8月25日、彼らはNature Physics誌に論文を発表し、3つのアプローチが、シワの幾何学的配置においていかにして同じ、明快な収束点に収束するかを示しました。特に注目すべきは、パターンが整然とした二等辺三角形の集合に収束し、秩序と無秩序の領域を区切っていることを発見した点です。さらに、この結果は、あり得ないほど薄い材料の数学的抽象化に限定されるのではなく、数桁もの厚さにまで及んでいます。

彼らの研究は、理論とその応用を拡張する機会も示唆しています。物理学者として、カティフォリ氏は、これらの予測を新しい材料の設計に活かすことに興味があると述べています。「表面を設計することで、シワのパターンが自己組織化されて、思い通りの形になる仕組みを解明したいのです。」

もう一つの未解決の問題は、この理論がどの程度一般的に様々な曲面に適用できるかということです。「この理論は、ガウス曲率が正か負かという状況に非常に焦点を当てていますが、正の領域と負の領域が存在する状況も数多く存在します」とベラ氏は述べています。

ポールセン氏はこれは非常に興味深い可能性だと同意し、トバスコ氏はこの分野で積極的に研究を進めており、穴の開いた貝殻など他の形状の貝殻も検討していると述べた。

しかしポールセン氏は、この理論は現状でも美しく、驚くべきものだと述べた。「貝殻と境界の形状、そしてイアンの理論が予測したシンプルなルールを与えれば、コンパスと定規を使ってシワを描くことができます」と彼は言った。「本来はそうする必要はなかったはずです。全く恐ろしい結果になっていたかもしれません。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。