大砲の弾を軌道に打ち上げるには何が必要でしょうか?

よく考えてみると、重力というのは実に複雑です。地球の表面に落ちるボールの動きは、地球を周回する月の動きと同じ相互作用によって引き起こされているのです。驚きです。人間が、この二つの動き（落下するボールと月）が同じ重力によるものだと気づいたというのは、さらに驚きです。確かに、同じには見えませんね。

さて、アイザック・ニュートンの時代（1700年代初頭くらいでしょうか）に生きていると想像してみてください。この万有引力のモデルはどうやって作られるのでしょうか？彼がどうやってそれを成し遂げたのかは分かりませんが、ニュートンは最終的に惑星（と衛星）の運動と地球表面上の物体の運動を結びつけました。彼はこの関連性を、高い山から大砲が弾丸を発射するという有名な思考実験で説明しています。こちらは、ニュートンが『世界体系論』に書いた図です。

この図は、地球表面を移動する物体が、最終的には地球を周回する物体になる可能性があることを示しています。彼はこれを、超高山から超高速で発射される大砲の弾をイメージして説明しています。この弾の実際の射程距離は、地球の曲率を考慮する必要があるため、通常の大砲の弾よりも長くなります。そうそう、空気抵抗は無視しなければなりません。実際、十分な速度で発射すれば、地球を完全に「ミス」して低軌道に入ります。

そうです。地球表面の重力は、月と地球の間の重力と同じです。先ほど言ったように、これは大きな意味を持ちます。

画像の分析

この図を誰が描いたのかは分かりません。もしかしたら、時を経て修正されているのかもしれません。とはいえ、まずは図版を描いて、正確性を確認したいと思います。特に、山の高さと砲弾の軌道を知りたいのです。いつものことですが。

ただの画像ではありますが、動画解析ソフトウェアを使えばこの画像を解析できます。もちろん、無料（で素晴らしい）Tracker Video Analysisを使います。この画像から「山」の高さを算出したいのですが、これはかなり簡単です。地球の半径を地球の半径に設定して高さを測るだけです。すると、山頂は地球の中心から地球の半径の1.198倍の距離にあることになります（地球の半径で計算した方が簡単です）。そうすると、山の高さは地球の半径の19.8%になります。分かりやすいですね。

比較のために言っておきますが、エベレストの高さは8848メートルです。地球に換算すると、これは地球の半径の0.139%に相当します。言い換えれば、ニュートンの山はとてつもなく巨大です。ニュートン山（今私がそう呼んでいるのですが）ほどの高さの山には、他にも面白いことがたくさんあると思いますが、今はその疑問については触れないことにします。

ニュートン山から発射された砲弾の軌道はどうでしょうか？最初の3つの砲弾（速度が最も低い順に3つ）の軌道を考えてみましょう。これらの運動に要した時間は分かりませんが、x座標とy座標は取得できます。これは通常の投射物の運動のグラフ（y座標対x座標）とは合わないので、代わりにr座標対θ座標をプロットします。rは砲弾から地球の中心までの距離、θは地球の中心からの角度です。はい、これは極座標です。

角度は水平X軸から測るので、これらの砲弾の軌道は左から右へ進みます。あまり混乱しないでいただけると幸いです。しかし、本当の疑問は、これらの軌道は本当に実在するのかということです。地球と重力相互作用する物体は楕円軌道を描くはずだと示すこともできますが、今回はそうしません。いや、そうではありません。代わりに数値モデルを作成し、初期速度を調整して、これらの軌道に近づくまで計算してみます。きっと面白くなるでしょう。

これが計画です（ほとんどの数値計算と同じ計画です）。ただし、基本的な手順は次のとおりです。

問題を非常に短い時間ステップ（この場合は約 1 秒）に分割します。
地球に対する砲弾の位置に基づいて、砲弾にかかる重力のベクトルを計算します。
この力を利用してボールの運動量を更新します。
運動量 (つまり速度) を使用してボールの位置を更新します。
停止したいまで繰り返します。

これで完了です。これが結果です。はい、これは実際に実行された数値計算です。「鉛筆」アイコンをクリックするとコードが表示されます。コードビューでは、開始速度を変更できます。この速度を変更しないと、ただのズルをしていることになります。本当に。速度を変えてみてください。

なるほど、ニュートンの図に似てきましたね。でも、図と全く同じ軌道を描くことはできるでしょうか？開始速度を調整して、上の3つのショット（図から）と非常によく似たデータが得られるか確認してみましょう。得られたデータ（半径距離とθの関係を示すグラフ）がこちらです。

これは最初の3発の大砲の発射時の軌道ですが、軌道が一致していないのが分かります。私の推測では、砲弾の速度はそれぞれ2800 m/s、4200 m/s、6200 m/sです。ちなみに、ニュートン山の高さでの軌道速度は7252 m/sになります。上のコード例でこの速度を使ってみてください。きれいな軌道になるはずです。

では、まとめてみましょう。ニュートンの砲弾の図は綺麗に見えますが、あくまでスケッチです。ニュートンにPythonがあればよかったのに。

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