自転車で月まで行くにはどれくらい時間がかかりますか?

50年前の1969年7月20日、ニール・アームストロングは人類で初めて月面に足を踏み入れました。月面着陸という偉業と、それが半世紀も前の出来事だったという事実は、今でも私にとって大きな驚きです。この歴史的な偉業を称え、また、月への帰還計画が進む中で、私たちの二酸化炭素排出量に配慮し、自転車で月まで行くのにどれくらいの時間がかかるか試算してみようと思いました。

えっ？ええ。ジョン・F・ケネディ大統領が言ったように、私たちがそういうことをするのは簡単だからではなく、難しいからなんです。そして、そこから物理学の重要な疑問が生まれてくるんです！まずは基礎から説明して、その後に宿題としていくつか問題を残しておきます。

では、まず実装上の問題をいくつか整理しておきましょう。当然のことながら、地球と月の間にケーブルを張る必要があります。そして、もしあなたがこのミッションを引き受けるとしたら、ケーブルに沿って走るための、グリップ力の高い特殊な車輪を備えたNASA製の白い自転車が手に入ります。（摩擦によるエネルギー損失はないものとします。）あ、車輪は一方向にしか回転しないので、休憩中に落ちてしまう心配もありません。

念のため言っておきますが、この計画はアポロ計画では時間的にうまくいかなかったでしょう。ケネディ大統領は10年以内に人類を月に送り込むと誓いましたが、NASAはかろうじてそれを達成しました。幸いにも、アポロ11号はわずか4日で月に到着しました。自転車で移動していたら、その期限はあっという間に過ぎていたでしょう。しかし、一体どれくらい遅れていたのでしょうか？

離陸

まず、いくつかの事実を把握する必要があります。まず、月はどれくらい遠いのでしょうか？月の地球の周りを回る軌道は完全な円ではないので、答えは一つではありません。しかし、平均距離24万マイル（38万6000キロメートル）としましょう。これは、車が古くなってきたときに私が考える数字です。オドメーターが24万マイルに達したら、月に到達できるほど遠くまで来たと分かります。

さて、人間は時速15マイル（約24km）でペダルを漕げる。それで移動時間を計算できる、と思うかもしれません。しかし、そうではありません。平坦な道なら時速15マイル（約24km）で走れるかもしれませんが、この場合、上り坂、つまりまっすぐな上り坂を走ることになります。さらに計算が複雑になるのですが、地球から遠ざかるにつれて、重力は徐々に弱まります。毎日同じ力で漕いでも、少しずつ遠くまで行けるようになります。やがて月に十分近づくと、下り坂になり、惰性で走れるようになります。

そこで、速度を推定する代わりに（速度は変動するため）、人間の出力を推定することにします。ツール・ド・フランスのサイクリストであれば、1日6時間で200ワットの出力が可能かもしれません。（ベン・キングのStravaでステージ4のライドをご覧ください。）とりあえずこの値を使いましょう。ツール・ド・フランスのサイクリストでない場合は、後で変更できます。

次に、ムーンケーブルバイクで短い距離Δ yを登るのにどれくらいの時間がかかるかを計算します。重力場の強さをg（ニュートン/キログラム）とします。この短い登り坂における重力位置エネルギーの変化（U _G）は次のようになります。

この式で、m は人間の質量（キログラム）です。出力（P）はエネルギーの変化を時間の変化で割ったものなので、出力の推定値を使って、少し上昇するのにかかる時間（ Δ t ）を求めることができます。

なぜ短い距離を使っているのでしょうか？すぐに分かります。まずは簡単な確認をしましょう。人間の質量が75kg（165ポンド）で、出力が200ワットだとします。1メートル上昇するのにどれくらいの時間がかかりますか？これらの数値から、3.675秒という結果が出ます。

長すぎるように思えるでしょうか？ええ、そうとも言えません。確かに、階段によっては1メートルの高さを1秒くらいで上れることもあります。でも、200ワットをはるかに超える電力を消費することになります。そのペースを6時間ぶっ続けで維持しようとしたらどうなるか想像してみてください。なるほど、この表現はいいですね。

変化する重力への対処

月への旅全体を通して、同じことを繰り返すことができるでしょうか？残念ながら、無理です。問題はg係数です。階段を上っているときに重力が変化していないように感じるかもしれませんが、それは実際に何かに到達する前に臆病になっているだけです。重力場は地球の中心からの距離が増すにつれて弱くなります。重力場の（ベクトル）値は次の式で求めることができます。

この図で、あなたが宇宙空間の灰色の点だとすると、右の式を使ってその点における重力を計算できます。Gは万有引力定数、M Eは地球の質量、rは地球の中心からあなたへのベクトルです。

でもちょっと待ってください！重力があるのは地球だけではありません。月にも重力があるので、方程式にもう1つ項を追加する必要があります。月の質量をm _m、地球から月までの距離をRとしましょう。これで、全体の重力場を計算できます。

地球に起因する重力加速度（g）の成分を正にすることで、少しズルをしていますが、こうすることで前回の計算で求めた地球表面での値と一致するようになります。地球から月に向かう重力場の強さをプロットしたものがこれです。（コードはこちらです。）

地球上の重力場は9.8 N/kg（これは良い値です）。月の表面では、重力場は反対方向に1.6 N/kgあります。これも正しい値です。月の重力場の強さは地球の約6分の1です。

でも、見て。旅のほとんどの間、重力の影響はゼロではないものの、かなり小さい。出発は大変だろうが、高度1万マイル（約16,000キロメートル）くらいまで到達すると、地球の重力は地上の10%にまで低下する。遠いように思えるかもしれないが、月までの距離は24万マイル（約38万キロメートル）あることを思い出してほしい。そこから先は、かなりスピードを上げられる。そして、いよいよ最後の最後で、月面への降下は楽だ。少し楽すぎるかもしれないが、その話は後ほど。

到着予定時刻

重力場の式ができたので、人間の出力に基づいて移動時間の計算を繰り返すことができます。今回は、移動中の小さな一歩ごとに重力を再計算します。これが、移動距離を時間の関数として表したものです。これは移動全体ではなく、「下り坂」に切り替わる地点までのものです。（コードはこちらです。）

正直驚きました。たった267日で着くなんて！想像よりずっと早い！距離は24万マイル（約38万キロメートル）なので、平均時速は時速37マイル（約60キロ）です。もちろん、24時間365日、かなりの運動量でペダルをこぎ続けたとしても、267日間はかかる計算です。もし1日6時間ペダルをこいだとしたら、その4倍の時間がかかります。つまり、ほぼ3年。しかも、月まで届く距離にも満たないのです。

旅の残りの時間はどうなるでしょうか？一つの選択肢は、ペダルを踏むのをやめることです。月にかなり近づくまで、ほぼ同じ速度で走り続けることになりますが、それでもかなり速いです。月の表面に到達したら、ある程度の速度低下は避けられません。では、どれくらいの速度になるでしょうか？自転車の速度と時間の関係を示すグラフがこれです。

ええ。これは速いムーンバイクです。超高速です。258日目くらいには秒速100メートル（時速約220マイル）に達します。それから1週間ほど経つと、本当に速いスピードで走れるようになり、秒速1,000メートル（時速2,200マイル）まで出せるようになります。

重力場が非常に小さくなると、ライダーのエネルギーはすべて速度を上げることに費やされます。しかし、実際には私のモデルには誤りがあり、おそらくさらに速度が速くなるでしょう。私の計算では、人間のエネルギーはすべて重力の位置エネルギーに転化して距離を伸ばすものと見なしています。しかし、重力場が小さい場合、「上昇」するのにそれほど時間はかかりません。つまり、非常に高速になるのです。このモデルは運動エネルギーの変化を直接考慮しておらず、ライダーは各ステップの開始時に速度ゼロからスタートすると仮定しています。それでも、全体的な時間計算は妥当だと思います。

NASAの宇宙飛行士が自転車ではなくロケットを使ったのは良かったと思うけど。さて、宿題だ。

宿題

全重力場の強さがゼロになる点はどこでしょうか？これはそれほど難しいことではないはずです。
私の計算では、ライダーの質量を75kgとしました。バイクの質量が含まれていないので、これは非常に小さい数値です。ライダーの総質量を100kg、あるいは200kgにしたらどうなるでしょうか？移動時間はどのように変化するでしょうか？
何も食べずにそんなに長く走ることはできません。ライダーの体重が100kgだとすると、月まで行くにはサンドイッチを何個食べなければならないでしょうか？
道端のデニーズに立ち寄って食べることはできないので、サンドイッチを持ち歩かなければなりません。それで全体の質量はどれくらい増えるのでしょうか？
地球から月までケーブルが通っているのはなぜですか？このようなケーブルを作るのに必要な鉄の量を推定してください。
地球と月の系は静止しているのではなく、自転しています。この自転によって、自転車で月まで行くのにかかる時間はどのように変化するでしょうか？
月面着陸の計画を立てましょう。どれくらいの速度で移動しますか？いつ減速しますか？どれくらいのエネルギーを（何らかの形で）放出する必要がありますか？

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