『エクスパンス』のエプスタイン・ドライブには素晴らしい物理法則が組み込まれている

2018年5月31日午前9時

『エクスパンス』では宇宙船はどれくらいの速さで移動するのでしょうか?

物理学者に宇宙船のコントロールパネルを見せてはいけません。

映画『エクスパンス』のエプスタイン・ドライブの圧倒的なGフォースに関する前回の投稿で終わりだと思った方もいるかもしれません。しかし違います。この動画は本当に素晴らしいので、もっと紹介したいです。

見逃した方のために、今何が起こっているのか説明しましょう。この男は火星付近（おそらく軌道上）に宇宙船を所有しており、核融合推進装置の改造を試しています。燃料をほとんど消費せずに宇宙船に超推力を与えるためです。この動画は男にとって良い結末ではありませんが、これは新しい推進装置、エプスタイン推進装置の始まりです。このより強力な宇宙船の推進力により、宇宙船は太陽系を周回できるようになり、『エクスパンス』のストーリー全体が展開されます。

では、このクリップからどんな疑問が解けるのでしょうか？念のため言っておきますが、私は動画から得た情報に基づいて話を進めています。番組の原作小説（ジェームズ・S・A・コーリー著『エクスパンス』）の内容は参考にしていません。考慮すべき点をいくつか挙げます。

宇宙船は最終的にどれくらいの速度で飛ぶのでしょうか?
最大加速度はどれくらいですか？
燃料はどれくらいもつでしょうか?
どれくらい遠くまで移動しますか?

早速始めましょう。このシーンには宇宙船のコントロールパネルのショットが含まれています。このディスプレイには、時間、速度、加速度、燃料残量が表示されます。加速度は「g」で計測され、1 g = 9.8 m/s ²です。速度は「MPS」で計測されます。これはメートル毎秒を意味すると仮定します（確認はできます）。

最初の推進力の間、各フレームを見ることで、速度と加速度を時間の関数として得ることができます。こちらが速度と時間のグラフです（plot.lyのデータはこちらです）。

加速度は速度の変化率として定義されます。したがって、速度対時間（一方向の速度のみ）のグラフでは、直線の傾きが加速度となります。このグラフから2つのことがわかります。まず、速度は一定の加速度から予想されるように直線的に増加します。確かに最初のショットでは加速度は変化しますが、その変化幅は大きくありません（3.12から3.18）。次に、直線の傾きから、加速度は83.517 m/s ²となります（速度の「m」はメートルと仮定）。比較のために言うと、3.15 gの加速度は30.87 m/s ²になります。

さて、問題があります（ええ、これはSF番組なので分析するものではないことは承知しています）。加速度の表示が間違っているのでしょうか？速度が間違っているのでしょうか？速度の単位がメートル/秒ではないのでしょうか？作業を進めるには、加速度を3.15Gに維持したいのですが、そのためには速度を修正する必要があります。最も簡単な方法は、MPSの「M」をメートル以外のものにすることです。まず、メートルとM（それが何の略語であれ）の変換方法を調べてみましょう。2つの加速度を等しく設定し、Mを求めます。

Mを火星メートルと呼ぶことにします。地球メートルより短いですからね。ちょっと待ってください！加速度が3.15地球gではなく、3.15火星gだったらどうなるでしょうか？火星表面の重力場は3.71 N/kg (3.71 m/s ^{2 )なので、3.15 gは11.7 m/s}²の加速度になります。これは良くありません。そうすると、クリップ内の加速度と速度の変化が大きく食い違ってしまいます。よし、火星メートルという考えを採用することにします（そして、それに固執します）。

次にシーンにコントロールパネルが表示されるのは、実行時間2分12秒の時です。加速度は4.28gと表示されています。速度変化率を記録すると、非常に直線的で、加速度は617.07m/s ²（火星メートルを使用していることに注意してください）または228.3m/s ²（地球メートル）です。パネルの加速度を地球に換算すると、4.28gは41.94m/s ²となります。さて、ここで速報です。これらの数字は、直線的に増加しているという以外、特に意味はないと思います。

さて、コメントです。科学番組のコンサルタントをしているので、この経緯はなんとなく分かる気がします。ある科学者が4.28Gの加速度と一致するように速度を計算しました。次に特殊効果担当者が、計算された速度をシーン内の表示に表示するプログラムを作成しました。そして最後に、プロデューサーかディレクターがラフカットを見て、「あれ、あまり速く見えない。もっと速度を変えられないかな？」と言いました。すると、表示が変わりました。正直、私はこれで全く問題ありません。彼らは物語を伝え、巨大な加速度を強調しようとしているのですから。そもそも、誰がそんなことを検証するのでしょうか？ああ、そうそう、私です。

でも待ってください！さらにひどい状況です。速度の変化に基づいて加速度を測定すると、非常に高くなります。クリップの最後では、宇宙船は約2500万メートル/秒で移動しており、加速度は約46,119 m/s ²です。これは4,700 Gに相当します。ドカン！

もちろん、これはすべて視覚効果のためです。宇宙船がものすごい速度で飛行している様子を見せたい場合、最後の数桁が変化するだけの通常の加速度では、あまり印象に残りません。実際には加速していないような印象を与えてしまいます（実際には加速しているにもかかわらず）。

最終速度を推定します。

これがあなたの知りたいことですね。燃料切れ後、この船がどれくらいの速度で航行するのかを知りたいんですね。わかりました。もちろんです。ただ、全てを把握しているわけではないので、いくつかは推測で答えなければなりません。私の推定値は以下の通りです。

宇宙船は 5,500 m/s の速度でスタートします (そうです、mps はメートル/秒を意味すると思います)。
10G（98m/s²）の加速度が一定に存在します^。もし宇宙船の質量が燃料消費に伴って大幅に減少するのであれば、これは必ずしも真実とは言えませんが、それでも出発点としては十分でしょう。
周囲にはその運動に影響を与える重要な重力物体は存在しません。
燃料の燃焼率は一定です。つまり、4時間で89.9%から89.1%に上昇したことになります。

さあ、始めましょう。まず最初に、総燃焼時間を求めます。4時間で燃料の0.8%を消費すると、燃料が尽きるまで約450時間（約19日）かかります。次に、加速度と時間を使って最終速度を求めます（加速度の定義に基づきます）。

^{私の値（時間を秒単位で入力する必要があります）を使うと、光速の約半分（3 x 10 8} m/s）の速度が得られます。つまり、この方法は使えません。代わりに、相対論的な運動量の定義を使用する必要があります。

そうですね。計算が少し複雑になるので、そうするのは避けた方がいいでしょう（運動量原理も使う必要があります）。最終的な速度は超高速だとだけ言っておきましょう。超高速です。実際の計算は宿題にしておきます。

もう一つ、皆さんに考えていただきたいことがあります。宇宙船の速度はどのように測定するのでしょうか？車や飛行機の速度測定を考えているなら、かなり簡単に思えます。車はタイヤの回転速度を測定し、それを使って速度を計算します。飛行機は翼を通過する空気による圧力の変化を測定して速度を算出できます。しかし、宇宙ではどうでしょうか？宇宙船の周囲には速度測定に使えるようなものが何も動きません。その代わりに、加速度に基づいて速度を計算する必要があります。そうです、そうするのです。

宿題

運動量原理と相対論的運動量を使用して、宇宙船の最終速度を計算します。
ロケットの燃焼終了時の宇宙船の運動エネルギーはいくらでしょうか？このエネルギーがすべて核融合プロセスから得られたと仮定すると、どれだけの燃料（質量）が使用されたでしょうか？ヒント：質量を計算するには、E = mc^2 を使用してください。
宇宙船の質量とロケット方程式を大まかに近似して、ロケット内の燃料の総質量と排気速度を推定します。
この噴射中に宇宙船はどれくらいの距離を移動したのでしょうか？必要に応じて、非相対論的な運動学を使用することもできます。
宇宙船の初速度は5500 m/sと記載されています。火星周回軌道上にあると仮定すると、地表からどれくらいの高さにあることになりますか？
もし宇宙船の加速度がもっと現実的なもの、例えば1G程度だったらどうなるでしょうか？噴射終了時にはどれくらいの速度で移動しているでしょうか？
火星から遠ざかるにつれて、火星の角度の大きさの変化に基づいて宇宙船の速度を測定したいとします。最初の1時間で、火星の角度の大きさはどれくらい変化するでしょうか？

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