数学者、ブラックホールの無限の形状の可能性を発見

宇宙は丸いものを好むようだ。惑星や恒星は、重力がガスや塵の雲を質量中心へと引き寄せるため、球形になる傾向がある。ブラックホール、より正確にはブラックホールの事象の地平線も同様で、理論上は空間3次元、時間1次元の宇宙においては球形にならなければならない。

しかし、宇宙が高次元（目には見えないものの、その影響は依然として明白である）を持つと仮定される場合、同じ制約が適用されるのでしょうか？そのような状況では、ブラックホールの形状は異なる可能性があるのでしょうか？

後者の問いへの答えは、数学によれば「イエス」です。過去20年間、研究者たちはブラックホールを球形に限定するという規則に時折例外があることを発見してきました。

新たな論文はさらに踏み込み、5次元以上では無限の形状が存在することを数学的に包括的に証明しています。この論文は、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論の方程式が、多種多様なエキゾチックな高次元ブラックホールを生み出す可能性があることを実証しています。

この新たな研究は純粋に理論的なものであり、自然界にそのようなブラックホールが存在するかどうかは示していない。しかし、もし何らかの形でそのような奇妙な形状のブラックホールが、例えば粒子加速器での衝突によって微視的に生成されるものとして検出されれば、「それは自動的に私たちの宇宙が高次元であることを示すことになるでしょう」と、ストーニーブルック大学の幾何学者で、最近同大学で数学の博士号を取得したジョーダン・レインノン氏と共にこの新たな研究を共同執筆したマーカス・クーリ氏は述べた。「ですから、今は私たちの実験でブラックホールが検出できるかどうかを待つだけです」

ブラックホールドーナツ

ブラックホールに関する多くの物語と同様に、この物語もスティーブン・ホーキングから始まります。具体的には、1972年に彼がブラックホールの表面は、ある特定の瞬間において二次元球体でなければならないということを証明したことです。（ブラックホールは三次元物体ですが、その表面は空間的に二次元しかありません。）

1980年代から90年代にかけて、弦理論（おそらく10次元または11次元の存在を必要とする概念）への関心が高まるまで、ホーキングの定理の拡張についてはほとんど検討されていませんでした。物理学者と数学者は、これらの余分な次元がブラックホールのトポロジーにどのような影響を与えるかについて真剣に検討し始めました。

ブラックホールは、アインシュタイン方程式（10個の連結した非線形微分方程式）の予測の中でも最も複雑なものの一つであり、扱うのが非常に困難です。一般的に、ブラックホールは高度に対称的な、つまり単純化された状況下でのみ明示的に解くことができます。

ホーキングの結果から30年後の2002年、物理学者ロベルト・エンパランとハーヴェイ・リアル（それぞれ現在バルセロナ大学とケンブリッジ大学に所属）は、5次元（空間4次元＋時間1次元）におけるアインシュタイン方程式の高度に対称的なブラックホール解を発見した。エンパランとリアルはこの物体を「ブラックリング」と名付けた。これはドーナツのような輪郭を持つ3次元面である。

5次元空間に3次元面を想像するのは難しいので、代わりに普通の円を想像してみましょう。円上のすべての点は、2次元の球に置き換えることができます。円と球を組み合わせることで、立体的でゴツゴツとしたドーナツのような3次元物体が生まれます。

原理的には、ドーナツ型のブラックホールは、ちょうど良い速度で回転していれば形成されます。「回転が速すぎるとバラバラになり、回転速度が十分でないと球体に戻ってしまいます」とレイノン氏は言います。「エンパランとリアルは、ちょうど良い速度を見つけました。リングの回転速度がちょうど良く、ドーナツの形を保てる速度だったのです。」

この結果を知った位相学者のレイノン氏は希望を抱き、「もしすべての惑星、恒星、ブラックホールが球状だったら、私たちの宇宙は退屈な場所になってしまうだろう」と語った。

新たな焦点

2006年、球体ではないブラックホール宇宙が真に開花し始めた。同年、マイアミ大学のグレッグ・ギャロウェイとスタンフォード大学のリチャード・ショーンは、ホーキングの定理を一般化し、4次元を超える次元においてブラックホールが取り得るあらゆる形状を記述した。その形状には、おなじみの球体、以前から実証されているリング、そしてレンズ空間と呼ばれる広範な種類の物体が含まれていた。

レンズ空間は、幾何学と位相幾何学の両方において長年重要視されてきた特殊な数学的構成です。「宇宙が三次元で私たちに与え得るあらゆる形状の中で、球面が最も単純であり、レンズ空間はそれに次ぐ単純な例です」とクリー氏は述べました。

クリーはレンズ空間を「折り畳まれた球体」と捉えています。「球体を非常に複雑な方法で折り畳んでいるのです」。この仕組みを理解するために、より単純な形状、つまり円から始めましょう。この円を上半分と下半分に分割します。そして、下半分にあるすべての点を、上半分にある正反対の点に移動します。こうすることで、上半分の半円と、半円の両端にそれぞれ1つずつ、計2つの対蹠点が残ります。これらを互いに接着することで、元の円周の半分の円周を持つ小さな円が作成されます。

次に二次元に移ります。ここからは物事が複雑になってきます。まず二次元球面（中空の球体）から始め、下半分のすべての点を上半分の対蹠点に接するように移動させます。これで上半球だけが残ります。しかし、赤道上の点も互いに「同一視」（つまり接続）する必要があり、交差が必要となるため、結果として得られる面は非常に歪んだ形状になります。

数学者がレンズ空間について話すとき、通常は3次元のレンズ空間を指します。ここでも、最も単純な例、つまり表面と内部の点を含む立体的な地球儀から始めましょう。地球儀に北極から南極まで経線を引いてみましょう。この場合、地球儀は2本の線だけで、東半球と西半球に分割されます。こうすることで、一方の半球上の点ともう一方の半球上の対蹠点を対応させることができます。

しかし、もっと多くの経線や、それらが定義するセクターを繋ぐ様々な方法も考えられます。数学者はこれらの選択肢をレンズ空間でL ( p , q )という表記で管理します。ここでpは地球が何セクターに分割されているかを表し、qはそれらのセクターが互いにどのように関連付けられるかを表します。L(2,1)とラベル付けされたレンズ空間は、点を対蹠的に識別する唯一の方法を持つ2つのセクター（または半球）を表します。

地球儀を複数のセクターに分割すれば、それらを繋ぎ合わせる方法も増えます。例えば、L (4, 3)レンズ空間には4つのセクターがあり、それぞれの上側のセクターは3つ先の下側のセクターと対応しています。上側のセクター1は下側のセクター4に、上側のセクター2は下側のセクター1に、というように続きます。「このプロセスは、上部をひねって接着する正しい場所を見つけるようなものです」とクリー氏は言います。「ひねりの量はqによって決まります。」ひねりの回数が増えるほど、結果として得られる形状はますます複雑になります。

「『どうやってこれらのものを視覚化するのですか？』と聞かれることがあります」と、マクマスター大学の数理物理学者ハリ・クンドゥリ氏は言います。「答えは、視覚化しません。私たちはこれらの対象を数学的に扱うだけです。これは抽象化の力を示しています。抽象化によって、絵を描かずに作業できるのです。」

すべてのブラックホール

2014年、エディンバラ大学のクンドゥリとジェームズ・ルシエッティは、 5次元のL (2,1)型ブラックホールの存在を証明した。

クンドゥリ＝ルシエッティ解は、彼らが「ブラックレンズ」と呼ぶもので、いくつかの重要な特徴を持つ。彼らの解は「漸近的に平坦な」時空を記述する。これは、ブラックホール近傍では高い時空の曲率が、無限遠に近づくにつれてゼロに近づくことを意味する。この特徴は、結果が物理的に妥当であることを保証するのに役立っている。「ブラックレンズを作るのはそれほど難しくありません」とクンドゥリは指摘する。「難しいのは、それを実行し、無限遠で時空を平坦にすることです。」

エンパランとレアルのブラックリングが回転によって崩壊するのを防ぐのと同様に、クンドゥリ・ルシエッティのブラックレンズも回転する必要がある。しかし、クンドゥリとルシエッティはレンズを保持するために「物質」場（この場合は電荷の一種）も利用した。

2022年12月の論文において、クフリとレイノーンはクンドゥリ＝ルシエッティの結果を可能な限り一般化した。彼らはまず、レンズ位相L ( p , q )を持つ5次元ブラックホールの存在を証明した。これは、 pとqの値が1以上の任意の値（pがqより大きく、pとqに共通の素因数が存在しない）に対して行われた。

その後、彼らはさらに研究を進めました。彼らは、任意の高次元において、任意のレンズ空間（pとqの任意の値（同じ条件を満たす））の形状のブラックホールを生成できることを発見しました。つまり、無限の次元に無限の数のブラックホールが存在する可能性があるということです。ただし、クリー氏が指摘したように、1つの注意点があります。「5次元を超えると、レンズ空間は全体の位相幾何学の一部に過ぎなくなります。」ブラックホールは、それ自体が視覚的に複雑なレンズ空間よりもさらに複雑です。

クリー・レイノンブラックホールは回転できるが、必ずしも回転する必要はない。彼らの解もまた、漸近的に平坦な時空に関係している。しかし、クリーとレイノンは、ブラックホールの形状を維持し、結果を損なわせる欠陥や不規則性を防ぐために、やや異なる種類の物質場、つまり高次元に関連する粒子で構成される物質場を必要とした。彼らが構築したブラックレンズは、ブラックリングと同様に、2つの独立した回転対称性（5次元）を持ち、アインシュタイン方程式を解きやすくしている。「これは単純化のための仮定だが、不合理なものではない」とレイノンは述べた。「そして、これがなければ、論文は存在しない」。

「本当に素晴らしく、独創的な研究です」とクンドゥリ氏は述べた。「ギャロウェイ氏とショーン氏が提示したすべての可能性は、前述の回転対称性を考慮すると、明確に実現できることを示しました」

ギャロウェイ氏は、クーリ氏とレイノン氏が考案した戦略に特に感銘を受けた。与えられたpとqを持つ5次元ブラックレンズの存在を証明するために、彼らはまずブラックホールを高次元時空に埋め込んだ。高次元時空ではブラックホールの存在を証明しやすく、動き回る余地が大きいという理由もある。次に、彼らは望ましいトポロジーを維持しながら、時空を5次元に収縮させた。「素晴らしいアイデアです」とギャロウェイ氏は語った。

クンドゥリ氏は、クゥリ氏とレイノーン氏が導入した手順の素晴らしい点は「非常に汎用的で、あらゆる可能性に一度に適用できること」だと述べた。

今後の展望として、クフリ氏は、レンズブラックホールの解が真空中で物質場の助けなしに存在し、安定を保つことができるかどうかの研究を開始した。ルシエッティ氏とフレッド・トムリンソン氏による2021年の論文では、それは不可能であり、何らかの物質場が必要であると結論づけられている。しかし、彼らの主張は数学的証明ではなく計算による証拠に基づいているため、「したがって、これはまだ未解決の問題です」とクフリ氏は述べた。

一方、さらに大きな謎が迫っている。「私たちは本当に高次元の領域に住んでいるのでしょうか？」とクフリ氏は問いかけた。物理学者たちは、将来、大型ハドロン衝突型加速器（LHC）やさらに高エネルギーの粒子加速器で、微小なブラックホールが生成される可能性があると予測している。もし加速器で生成されたブラックホールが、そのほんの一瞬という短い寿命の間に検出され、非球状のトポロジーを持つことが観測されれば、私たちの宇宙が3次元以上の空間と1次元の時間を持っていることの証拠になるとクフリ氏は述べた。

このような発見は、もう少し学問的な別の問題を解明する可能性がある。「一般相対性理論は伝統的に4次元理論でした」とクリー氏は述べた。5次元以上のブラックホールに関する考えを探求する中で、「私たちは一般相対性理論が高次元でも有効であるという事実に賭けています。もしエキゾチックな（非球形の）ブラックホールが発見されれば、私たちの賭けが正しかったことがわかるでしょう」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。