振り子ロケットの誤謬を解明しよう

初期のロケット開発に携わる人にとって、ロケットを作るのは容易ではありません。ロケットを設計する最良の方法が全く分からず、仕方なく何かを選ばざるを得ない場合もあります。まさにこれが初期のロケットの実例です。ロバート・ゴダードの初期の設計では、スラスタをロケットの最上部に、燃料タンクを下部に配置していました。上部にロケットを搭載することで、全体の安定性が向上するという考え方です。もしロケットが完全な垂直運動から外れても、下部の重心によって垂直位置に戻るように振られるのです。まるで振り子（糸の上で揺れる質量）のようです。

実際にはそうではありません。上部にスラスタを搭載しても、ロケットの安定性は本質的に向上しません。下部に搭載されたロケットでも問題なく動作します。もちろん、ロケットエンジンを下部に搭載できることは既にご存知でしょう。現代のロケットのほとんどが下部に搭載されているからです。上部に搭載されたロケットが機体を上下に揺らすという考えは、「振り子ロケットの誤謬」として知られています。ここで何が起こっているのかを正確に理解するために、いくつかの物理モデルを試してみましょう。

ロケット振り子

できるだけ基本的なモデルを作りたいと思っていますが、実際のロケットの主要な特性を表現できるものを作りたいと思っています。馬鹿げているように思えるかもしれませんが、これが私のロケットの設計です。

はい、このロケットはバネでつながれた3つの質量体でできています。なぜでしょうか？これは「ほぼ」剛体でありながら、個々の質点にかかる力を計算することでモデル化できる、最もシンプルな設計だからです。それぞれの質量には、重力と2つのバネ力という3つの力が作用します。バネの硬さと全ての質量の位置がわかれば、これらのバネ力を求めることができます。各質量にかかる正味の力がわかれば、それを用いてごく短い時間間隔で各質量の運動量と位置を更新できます。そして、このプロセスを繰り返すだけで、ロケット全体の動きが得られます。

この方法の素晴らしい点は、個々の点に単純な力をかけるだけで、ロケット全体の動きを計算できることです。そうそう、このロケットの重心もプロットしておきます。では、やってみましょう。まずはロケットを実際の振り子として考えてみましょう。つまり、上部の質量の位置を固定し、下部の 2 つの質量に力の指示通りに動かすのです。でもちょっと待ってください! これはロケットなので、何らかのロケットエンジンで固定する必要があります。この場合、ロケットは上部の質量を必要な方向 (および大きさ) に押し、振り子のように動かないようにします。つまり、ロケットは離陸モードではなくホバリングモードになります。これが結果です。注: これは実際のコードです。鉛筆アイコンをクリックすると、コードを表示および編集できます。

はい、確かに前後に揺れていますね。でも、その力はどうなっているのでしょうか？ロケット本体は揺れながら運動量を変化させるので、連結バネが伸びて上部の質量に変化する力を加えます。上部の質量を（ロケット振り子全体の）静止状態に保つには、推力の大きさと方向の両方を変化させる必要があります。つまり、これは普通のロケットではありませんが、かなり普通の振り子と言えるでしょう。うまくいっているようです。つまり、次のバージョンのロケットに進むことができるということです。

上部にスラスターを備えたロケット

前の例のスラスタを、より現実的なロケットに置き換えたらどうなるでしょうか？これは、スラスタの推力が一定で、常にロケットの重心からまっすぐ離れた方向を向くことを意味します。つまり、ロケットが回転すると、推力も異なる方向を向きます。実際のロケットエンジンと同じです。

準備はいいですか？こんな感じです（これはただのGIFですが、コードを見たい方はここにあります）。

ビデオ: レット・アラン

これは振り子ではないことに注意してください。これはただ飛んでいる（そして加速している）ロケットです。一体このロケットは何が起こっているのでしょうか？ロケットの推力はロケットの重量より少しだけ大きく設定し、あまり速く離陸しないようにしています。この動きは、力とトルクを考えることで理解できます。力はロケットの重心の動きについて、トルクは重心周りの回転について教えてくれます。まずは力から始めましょう。

剛体であるロケットには、基本的に2つの力しか作用しません。1つはロケットエンジン（機体上部に搭載）からの推力、もう1つは重力です。重力は、地球とロケットの各部との間の相互作用です。しかし、ロケットの各部に作用する多数の微小な重力を扱いたい人はいません。そこで、これらの微小な重力をすべて1つの力に置き換えることができます。そして、その1つの力は「質量中心」と呼ばれる場所に作用します。このロケットでは、上部の質量が下部の質量の合計に等しいため（私はそのように設計しました）、質量中心はロケットのちょうど中心にあります。

これはロケットにかかる力を示す図です。

しかし、これらの力は一体何をするのでしょうか？もし正味の力がゼロ（ゼロベクトル）なら、物体は静止しているか等速運動をしています。もし正味の力がゼロでなければ、物体は加速度を持っています。加速度の値はニュートンの運動の第二法則を使って求めることができます。

この推力を力と考えると（実際、力です）、この力は水平方向と垂直方向の両方に作用します（ロケットは傾いているため）。水平方向に力が作用するため、ロケットの水平方向の速度が増加します。また、推力の垂直方向の成分も下向きの重力よりもわずかに大きいため、垂直方向の速度も（わずかに）増加します。しかし、ここで重要なのは、横方向の力が作用すると、ロケットは水平方向に加速し、同じ位置に留まらないということです。

さて、トルクはどうでしょうか？トルクの最も基本的な説明は、回転力のようなものだということです。正味の力は加速を引き起こしますが、正味のトルクは角加速度を引き起こします。つまり、物体に正味のトルクがかかっている場合、その物体は増加する回転速度で回転します。では、トルクはどうやって求めるのでしょうか？レンチを使って締めたいナットがあると想像してみてください。締めるには、レンチを工具に対して垂直な方向に引っ張ります。こんな感じです。

この場合のトルクは、力の大きさ（F）、力とトルクを計算したい点との距離（トルクアームrと呼ばれることが多い）、そして力とトルクアームの間の角度（θ）という3つの変数によって決まります。上記の例では、力とトルクアームの間の角度は90度です。90度の正弦は1なので、これがその力とトルクアームの最大トルクとなります。より大きなトルクが必要な場合は、より強く引くか、より大きなトルクアームを持つより長いレンチを用意してください。

しかし、角度が垂直軸から外れるほどの力で引っ張ったらどうなるでしょうか? このようになります。

ボルトを締める場合、これは良くない考えです。この角度ではトルクが低くなります（レンチをナットから引き抜いてしまいます）。実際、角度を0度にするとトルクはゼロになります。つまり、作用点に力のかかる線を描き、その線がトルクポイント（この場合はナット）を通るとすると、トルクはゼロになります。トルクがゼロになると、回転運動に変化が生じないことを覚えておいてください。

つまり、ロケットエンジンをロケットの先端に取り付けると、力の線が質量中心を通るためトルクはゼロになり、ロケットは垂直位置に戻らないのです。しかし、実際の振り子とは何が違うのでしょうか？鍵となるのは回転点です。自由飛行するロケットは、質量中心を中心に回転します。重力もロケットの推力もトルクを及ぼしません。しかし、ロケットの先端が固定されている場合（最初の振り子の例）、ロケットは先端を中心に回転しなければなりません。この場合、重力は確かにトルクを及ぼし、これがロケットを前後に揺らす原因となります。

下部にスラスターを備えたロケット

さて、ロケットのスラスタを機体の底部に取り付けたらどうなるか、予想できるでしょう。今回は、ロケットを上下逆さまに回転させて、質量が1つだけ底部に来るようにします。その様子はこんな感じです（コードはこちらです）。

ビデオ: レット・アラン

ほら、まだ動いてるじゃないですか。これは振り子ロケットの誤謬を示しています。ロケットエンジンを機体の上部に置いても、垂直位置に戻ることはないので、エンジンを上部に置く意味がありません。ロケットを下部に置いた方がずっと理にかなっています。ご存知の通り、スラスタから噴射される高温の物質は全部下部にあります。それを上部に置くと、機体にダメージを与えてしまいます。

アイアンマンロケットの誤謬

これはロケットの話ではなく、アイアンマンの話です。実はこれは、私がWIREDの「Technique Critique」に出演し、スーパーヒーロー映画の物理学を考察した際に寄せられたYouTubeのコメントへの返答です。あるシーンでは、アイアンマンが（映画の中で）足と手のスラスターを使って飛ぶ様子を取り上げました。そう、動画の中では確かに「ロケットの底部にスラスターを取り付けるのは少々問題がある」と書きました。これはゴダードが最初の設計で犯した振り子ロケットの誤謬と全く同じです。おっと。底部にスラスターを取り付けると、まるで鉛筆を下から垂直に持ち上げているような感じがしますが、ご覧の通り、ロケットが加速している場合はそうではありません。

しかし、アイアンマンの飛行には大きく異なる点が2つあります。まず、映画『アイアンマン』のシーンでは、トニー・スタークは静止した状態でホバリングしています。これは、彼が加速しておらず、総力はゼロ（ゼロベクトル）であることを意味します。アイアンマンが少し横に傾いていると想像してください。1つのスラスターだけでは、質量中心を押す力（ゼロトルク）と水平成分の両方をゼロにすることはできません。彼は横に加速するか、回転運動を変えるかのいずれかを行うでしょう。そこで、彼が1つのスラスターを使用し、静止したまま（傾いたまま）でいたいとしましょう。その様子は次のようになります。

ビデオ: レット・アラン

明確に言うと、これは一定の大きさと方向を持つスラスター力を使用します。これは、質量の中心を静止状態に保つために必要なものです。

アイアンマンがロケットと異なる2つ目の点は、足にスラスターが1つではなく2つあることです（足が2本あるため）。つまり、スラスターの力はゼロトルクアームを持たず、実際にトルクを発生します。もちろん、両足のスラスターでゼロトルクの状況は確かに可能ですが、彼が軸からわずかに傾き、足のスラスターだけで飛行していると想像してみてください。こんな感じになるかもしれません。

この場合、合計の力はゼロ（ゼロベクトル）となり、機体は静止したままホバリングします。しかし、質量中心周りの合計トルクをゼロにするには、力F1（左側）の推力を大きくする必要があります。このF1の力の増加は、推力F2に等しく反対方向のトルクを与えます。F2のトルクアームが短いため、F1の力を大きくする必要があります。しかし、F1の力を増加させると、ホバリング状態を維持するためにはF2の力を減少させる必要があります。これは非常に難しい課題です。

ハンドスラスターを装着できるということは、2つの力のトルクアームが大きくなる（重心から遠い）ことを意味します。つまり、わずかな角度調整でトルクを変化させても、正味の力はあまり変化させない方が簡単になります。しかし、これは想像する必要はありません。現実に起きているのです。そう、ハンドスラスターを搭載した飛行服は実在するのです。Gravity Industries社製のもので、実に素晴らしい製品です。

さて、振り子ロケットの誤謬についてはどうでしょうか？まとめましょう。振り子ロケットの誤謬とは、ロケットを上部に搭載すると下部に搭載するよりも機体が安定するという誤った考えです。しかし、ロケットの下部にロケットを搭載しても（加速中であれば）、問題なく飛行します。はい、スーパーヒーロー物理学の動画で、完全に真実ではないことを言ってしまいました。最後に、アイアンマンは普通のロケットではありません。

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