ウイルスはどれくらい速く広がるのか？計算してみましょう

新型コロナウイルス感染症（COVID-19）のパンデミックは、どこまで、そしてどれくらいの速さで広がるのだろうか？誰もが頭に浮かべる疑問だが、ほとんどの人は直感的に予測できない。問題は、人間の脳は最近の経験から直線的に推測する傾向があるのに対し、感染症は指数関数的に広がるということだ。

3月15日（月）の時点で、米国の感染者数は約4,000人でした。「え、国の人口からするとほんの一部じゃない？そんなに騒いでるの？」と思うかもしれません。しかし、水曜日には感染者数は約8,000人にまで増加していました。つまり、2日ごとに4,000人ずつ増えていくと考えるかもしれません。しかし、それは間違いです。それは直線的な考え方です。実際はもっと悪いのです。

指数関数的な増加により、毎日の新規感染者数は着実に増加しています。時系列で合計をグラフ化すると、線が上向きにカーブしているのがわかります。そのため、あっという間に大きな数字に達する可能性があります。注目すべきは増加率です。今回のケースでは、2日間で倍増（100%増加）しました。このペースでいくと、水曜日の8,000人から金曜日には16,000人、日曜日には32,000人に増加することになります。

[編集者注: CDCの公式集計では、3月20日金曜日の正午までに感染者数は16,605人に達し、現在は3月22日日曜日の正午時点で32,644人となっている。 ]

感染率が本当にそれほど高いと言っているわけではありません。現在見られる感染者数の増加は、検査を受ける人が増えていることを部分的に反映しています。明らかに、私たちが認識しているよりも多くの感染者が既に存在していたのです。もしかしたら、はるかに多いかもしれません。しかし、ウイルス拡散の基本的な仕組みを理解するために、話をシンプルにしましょう。

この有名なたとえ話は、指数関数的成長の感覚を掴んでいただけるかもしれません。ある子供がお小遣いを増やそうと、一風変わった条件を提案します。両親は毎日お小遣いをくれるのですが、今日の金額はたったの1セントです。ところが、お小遣いはどんどん増えていきます。次の日は2セント、その次の日は4セント。お分かりでしょう。お釣りですよね？さて、実際にやってみると、30日目には両親は彼女に1000万ドル以上の借金を抱えていることがわかります。

よく言うように、何かをモデル化できるまで、本当の意味で理解したとは言えません。では、ウイルス感染の拡大はどのようにモデル化すればいいのでしょうか？そもそも、なぜ指数関数的増加と呼ばれるのでしょうか？

指数関数的成長のシンプルなモデル

まずは基本的なことから始めましょう。ある集団があり、そのうち一定数（N）の人が新型コロナウイルス感染症（COVID-19）に感染しているとします。感染者一人につき、他の人にウイルスを感染させる確率が存在します。その確率は人によって異なりますが、全体として、感染者数が翌日に20%増加するとしましょう。これは1日あたりの感染率0.20に相当します。

これが何を意味するかに注目してください。Nが増加すると、毎日の新規感染者数（𝚫 N ）は着実に増加します。Nが1,000の場合、翌日には200人の新規感染者が発生します。Nが10,000の場合、翌日には2,000人の新規感染者が発生します。

一般的に言えば、感染率がa、𝚫 t が時間の変化（日数で測定）である場合、次のように記述できます。

感染率（𝚫 N /𝚫 t）は速度のようなものと考えることができます。実際、ある意味その通りです。しかし、ここで奇妙な点があります。これは走行中の車のようなものですが、速度は場所によって異なります。遠くへ行けば行くほど、速度も上がります。この例えで言えば、移動距離は感染者数に相当します。

Nを時間の関数として表す式は解析的に（微分方程式を用いて）得ることができますが、まずは数値的に解いてみましょう。数値計算とは、問題を小さな時間ステップに分割することです。各ステップで感染者数を計算し、そこから翌日の感染者数を計算します。上記の変化率の式を用いると、以下の感染者更新式が得られます。

N サブ括弧 i と 1 括弧を足すと、N サブ括弧 i と a を掛けた値と、N サブ括弧 i と t の変化を掛けた値に等しい。

ここでの表記を明確にしておくと、N _iはi日目、N _{i+1 は}その翌日です。これで納得できますよね？あとは至って簡単です。コンピューターでも計算できるほどシンプルです。（このジョーク、好きです。）例えば、人口1万人の小さな町で、感染者が0日目（N ₀ = 1）に1人いるとしましょう。

問題が分かりますよね？30日間は他人へのリスクは小さく見え、CDCの自宅待機勧告に従う人もいません。ところが、感染率に変化がないまま、突然爆発的に感染が拡大するのです。これが指数関数的増加です。状況は良いように見えても、悪化すると手遅れになるのです。

ちなみに、このグラフは簡単なPythonスクリプトで生成されており、数値を変更して何が起こるかを確認できます。鉛筆アイコンをクリックして編集し、再生ボタンをクリックして再実行してください。

感染率を下げることは大きな違いを生む

つまり、これは指数関数です。実際、上記の速度方程式を微分積分を用いて時間間隔を無限小に縮小すると、微分方程式が得られます。この方程式を解くと、次の式が得られます。

これは、感染者数（N）が開始数（N ₀）とe （自然数）のaとtの積に依存することを示しています。そのため、これは指数関数的増加と呼ばれます。駆動変数である時間は指数関数的だからです。

この単純なモデルでは、事態は永遠に悪化し続けると予測されます。しかし、これは2つの暗黙の仮定に基づいています。1つ目は、感染率が一定であること、2つ目は、誰も回復して感染力がなくなることはないということです。幸いなことに、どちらも真実ではありません。そうでなければ、世界中の誰もがあっという間に感染してしまうでしょう。それでも、このモデルは流行の初期段階ではかなり正確です。

しかし、重要なのはここです。感染率をほんの少し下げることができたらどうでしょうか？感染率が0.20ではなく0.19だったらどうでしょうか？45日間の比較をご覧ください。

45日目で2,645人もの差が生まれます。指数関数的な増加の中では、どんな小さな努力も大きな助けになります。ここでの教訓は、個人の努力、特に初期段階では、何の意味もないように思える時こそ、本当に大きな意味を持つということです。あなた自身がスーパーヒーローとなり、命を救うことができるのです。そう、手洗いと安全なソーシャルディスタンスの実践です。

実際のデータの比較

しかし、実際のデータはどうでしょうか？感染者数は本当に指数関数に従うのでしょうか？感染率の真の要因は何でしょうか？オンラインでは様々なデータが入手できます。私はOur World in Dataに掲載されているコロナウイルスのデータを使っています。そのデータは以下のようなものです。

では、何かが指数関数的かどうかはどうやって判断するのでしょうか？コンピュータを使ってデータに指数関数を当てはめ、その適合度を測定することもできます。しかし、指数関数を線形関数に変換するのはどうでしょうか？上記の指数関数の両辺をN ₀で割り、さらに両辺の自然対数（ln）を取ると、次の式が得られます。

自然対数は指数関数の逆関数なので、eは消え、右側には単純な線形関数、a × tが残ります。（単位のあるものの対数は取れません。そのため、まず両辺をN ₀で割って単位のない量にする必要があります。）

いいことになりました。感染者数の実データの自然対数（初期値で割った値）を取ると、その数値は時間に比例するはずです。線形関数になるはずです。そのグラフがこれです。

データの一部、通常は前半部分のみが線形近似していることに注目してください。前述したように、感染が指数関数的に増加し続ければ、世界中がすぐに感染するでしょう。しかし、有用な結果を得るには十分です。まず、グラフの一部が線形であることから、これはまさに指数関数的な増加であることを意味します。次に、このデータから速度定数 ( a ) の値を得ることができます。イタリアとイランでは、感染率が依然として指数関数的である2つの異なるパターンがあるようです。各国のデータは以下の通りです。

中国 = 0.394
イラン 1 = 0.445
イラン 2 = 0.117
イタリア 1 = 0.401
イタリア 2 = 0.196
韓国 = 0.614
フランス = 0.286
アメリカ = 0.288

これは何を示唆しているのでしょうか？韓国では、感染率が0.614と、しばらくの間、制御不能な状態に陥っていました。幸いにも、それは5日間ほどで終わり、その後は指数関数的な増加は止まりました。イランとイタリアでは、感染率が大幅に減少しました。これは、両国が何らかの対策を講じた結果なのか、それとも単にウイルスに感染する人が減っただけなのかは分かりません。最後に、米国とフランスも同様の状況にあるようですが、フランスはわずか数日先を進んでいるようです。

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