数学者が相転移の対称性を証明

2021年7月11日午前8時

重要な瞬間には、回転不変性は多くの物理システムにわたる普遍的な特性です。

相転移の対称性に関する最近の重要な研究に関連する、多孔質媒体を介した浸透のモデル。イラスト：Vignette/Quanta Magazine

数学者たちは50年以上にわたり、物理系が一つの状態から別の状態へと変化する神秘的な瞬間において、異常に強い対称性が物理系全体に普遍的に存在することを厳密に証明する方法を模索してきました。共形不変性として知られるこの強力な対称性は、実際には3つの独立した対称性をすべて包含するパッケージです。

12月に投稿された証明において、5人の数学者からなるチームは、これらの物理系が相転移する際に共形不変性が必須の特徴であることを証明することに、これまで以上に近づきました。この研究は、共形不変性に含まれる3つの対称性の1つである回転不変性が、幅広い物理系の状態間の境界に存在することを証明しました。

「これは大きな貢献です。長い間、未公開でした」と、イスラエルのワイツマン科学研究所のガディ・コズマ氏は述べた。

回転不変性とは、円が示す対称性です。円を何度回転させても同じように見えます。相変化の瀬戸際にある物理系の文脈では、系のモデルをどのように回転させても、系の多くの特性が同じ振る舞いをすることを意味します。

これまでの結果では、回転不変性は特定の2つのモデルにおいて成立することが示されていましたが、その手法は他のモデルに適用できるほど柔軟ではありませんでした。今回の新たな証明はこうした歴史的事実を打ち破り、回転不変性が広範なモデル群にわたって普遍的な現象であることが初めて証明されたことになります。

「この普遍性の結果はさらに興味深い」と、ジュネーブ大学高等科学研究所（IHES）のヒューゴ・デュミニル・コパン氏は述べた。なぜなら、物理システムのモデル間の違いにかかわらず、同じパターンが現れることを意味するからだ。

デュミニル・コパン氏は、リヨン高等師範学校のカロル・カイエタン・コズロウスキー氏、ジュネーブ大学のドミトリー・クラチュン氏、フリブール大学のイオアン・マノレスク氏、IHESおよびパリ・サクレー大学のメンデス・ウラマラ氏とともに本研究の共著者である。

この新たな研究は、数学者たちがさらに野心的な成果、すなわちこれらの物理モデルが共形不変であることの証明に近づいているかもしれないという期待も抱かせます。過去数十年にわたり、数学者たちはいくつかの特定のモデルにおいて共形不変性が成り立つことを証明してきましたが、彼らが考えているように、すべてのモデルにおいて共形不変性が成り立つことを証明することはできていません。今回の新たな証明は、この分野での抜本的な成果への基礎を築くものです。

「これはすでに非常に大きな進歩です」とジュネーブ大学のスタニスラフ・スミルノフ氏は述べた。「共形不変性は今や手の届くところにあるように思えます。」

魔法の瞬間

ある状態から別の状態への遷移は、自然界で最も魅惑的な現象の一つです。水が熱せられて蒸気になったり、冷えて氷になったりする時のように、突発的に起こるものもあります。一方、今回の研究で研究された相転移のように、二つの状態の間には曖昧な境界がありながら、徐々に進行するものもあります。まさにこれらの臨界点において、システムは危うい状態にあり、かつての状態とも、これからの状態とも全く異なる状態にあるのです。

数学者はこの魔法を単純化されたモデルの中に閉じ込めようとします。

例えば、鉄を熱するとどうなるか考えてみましょう。ある温度を超えると、鉄は磁力を失います。この変化は、小さな磁石として働く何百万もの原子が熱せられた状態で反転し、隣接する原子の磁気的な位置と合わなくなることで起こります。華氏1,000度付近になると、熱が勝り、磁石は単なる金属片になってしまいます。

数学者はこのプロセスをイジング模型を用いて研究しています。この模型では、鉄の塊を方眼紙のグリッドのような2次元の正方格子として捉えます。この模型では、鉄原子を格子線の交点に配置し、上向きまたは下向きの矢印で表します。

イジング模型は、臨界点付近の物理系を表すツールとして、1950年代に広く用いられるようになりました。臨界点付近には、金属の磁性喪失、空気中の気体-液体転移、合金における秩序と無秩序の遷移などが含まれます。これらはすべて、微視的レベルでは全く異なる挙動を示す、非常に異なるタイプの系です。

そして1970年、若き物理学者アレクサンダー・ポリャコフは、これらの系は一見異なるように見えるにもかかわらず、臨界点において共形不変性を示すと予測しました。その後数十年にわたる解析により、物理学者たちはポリャコフの正しさを確信しました。しかし、数学者たちは、それが真であることを厳密に証明するという困難な課題を担っています。

対称性の対称性

共形不変性は、3種類の対称性を1つのより広範な対称性にまとめたものです。共形不変性を示す物体は、角度を変えることなく、移動（並進対称性）、任意の角度回転（回転対称性または共形不変性）、サイズ変更（スケール対称性）することができます。

「共形不変性は、全体的な対称性であり、他の 3 つよりも強いため、私が『すべてを支配する対称性』と呼ぶこともあります」とデュミニル・コパン氏は語ります。

共形不変性は、物理モデルではより微妙な形で現れる。イジングモデルでは、磁性がまだ保たれ、相転移がまだ起こっていない場合、ほとんどの矢印は一つの巨大なクラスターの中で上向きになっている。また、すべての矢印が下向きになっている小さなクラスターもいくつか存在する。しかし、臨界温度では、原子は以前よりも遠くから互いに影響を与えることができる。突然、あらゆる場所の原子の配列が不安定になる。上向きまたは下向きの矢印を持つ、様々なサイズのクラスターが一斉に現れ、磁性は失われようとする。

この重要な点において、数学者はモデルを非常に遠くから観察し、矢印間の相関関係を調べます。これは、任意の矢印のペアが同じ方向を指す確率を特徴づけるものです。この設定では、共形不変性とは、相関関係を歪めることなく格子を移動、回転、再スケールできることを意味します。つまり、2つの矢印が同じ方向を指す確率が50%の場合、これらの対称性を適用すると、格子内で同じ位置を占める矢印は、同じ方向に揃う確率も50%になります。

その結果、元の格子モデルと新しい変換後の格子モデルを比較しても、どちらがどちらか分からなくなります。重要なのは、相転移前のイジングモデルでは同じことが当てはまらないことです。そこで、格子の上隅を元の格子と同じサイズに拡大すると（スケール変換）、下向き矢印の小さな島の典型的なサイズも大きくなり、どちらの格子が元の格子であるかが明確になります。

共形不変性の存在は、直接的な物理的意味を持つ。それは、物質の微視的な細部を微調整しても、系全体の挙動は変化しないことを意味する。また、系全体がその包括的な形態を崩し、別の何かへと変貌していく瞬間に、ある種の数学的な優雅さが束の間現れることを暗示している。

最初の校正

2001年、スミルノフは物理モデルにおける共形不変性の厳密な数学的証明を初めて提示した。この証明は、石のような多孔質媒体内の迷路を液体が通過するプロセスであるパーコレーションのモデルに適用された。

スミルノフは、水が「開いている」頂点のみを流れる三角形格子上の浸透現象を研究した。初期状態では、すべての頂点が水の流れに対して開いている確率は等しい。この確率が低い場合、水が石を貫通する経路を持つ可能性は低くなる。

しかし、確率をゆっくりと増加させていくと、石をまたぐ最初の経路を作成するのに十分な数の頂点が開く点に到達します。スミルノフは、臨界閾値において三角格子が共形不変であることを証明しました。つまり、共形対称性をどのように変換しても、パーコレーションが発生するということです。

5年後、2006年の国際数学者会議で、スミルノフは再び共形不変性を証明したと発表しました。今回はイジング模型を用いて証明しました。この画期的な研究は、2001年の証明と相まって、数学界最高の栄誉であるフィールズ賞をもたらしました。

それ以来、ケースバイケースで他の証明が少しずつ発表され、特定のモデルにおける共形不変性が証明されてきた。しかし、ポリャコフが構想した普遍性を証明するには、まだ程遠いものであった。

「これまでうまくいった証明は、特定のモデルに合わせて作られたものでした」と、ニューヨーク大学アブダビ校の数理物理学者フェデリコ・カミア氏は述べた。「非常に特殊なモデルに対して証明するには、非常に特殊なツールが必要なのです。」

スミルノフ自身も、彼の証明は両方とも、彼が扱った 2 つのモデルには存在するが通常は利用できないある種の「魔法」に依存していることを認めています。

「魔法を使うので、魔法がある状況でしか機能せず、他の状況では魔法を見つけることができませんでした」と彼は語った。

この新たな研究は、このパターンを覆す初めての研究であり、共形不変性の中核的特徴である回転不変性が広く存在することを証明している。

一つずつ

ドゥミニル＝コパンが普遍共形不変性の証明について考え始めたのは、2000年代後半、ジュネーブ大学でスミルノフの大学院生だった頃だった。彼は師の手法の素晴らしさ、そして同時にその限界を独自の視点で理解していた。スミルノフは3つの対称性すべてを個別に証明する必要性を回避し、共形不変性を確立するための直接的な道筋を見出した。まるで山頂への近道のようだ。

「彼は驚くべき問題解決者です。彼は、この巨大な山の入り口、つまり彼が通り抜けた難所のようなものを見つけることで、統計物理学の2つのモデルの共形不変性を証明したのです」とデュミニル＝コパンは語った。

大学院卒業後、ドゥミニル＝コパンは長年にわたり、最終的にスミルノフの研究を超える可能性のある一連の証明の構築に取り組んできました。共著者らが共形不変性の研究に本格的に着手する頃には、彼らはスミルノフとは異なるアプローチを取る準備ができていました。魔法に賭けるのではなく、彼らはポリャコフやその後の物理学者たちが提唱した共形不変性に関する当初の仮説に立ち返ったのです。

物理学者たちは、共形不変性における対称性、すなわち並進不変性、回転不変性、スケール不変性のそれぞれについて、3段階の証明を要求しました。それぞれを個別に証明すれば、結果として共形不変性が得られます。

これを念頭に、著者らはまずスケール不変性の証明に着手した。回転不変性が最も難しい対称性であると考え、並進不変性は十分に単純で、それ自体の証明は不要であることを知っていたからである。この試みの中で、著者らは、正方格子および長方形格子上の様々なパーコレーションモデルにおいて、臨界点における回転不変性の存在を証明できることに気づいた。

彼らは確率論の「カップリング」と呼ばれる手法を用い、正方格子と回転した長方形格子の大規模な挙動を直接比較することを可能にした。このアプローチを、進化するシステムにおける隠れた構造を研究する積分可能性という別の数学分野の考え方と組み合わせることで、臨界点における挙動がモデル間で同一であることを証明し、回転不変性を確立した。さらに、この結果が、同じカップリングを適用可能な他の物理モデルにも拡張できることを証明した。

最終的な結果は、回転不変性が既知の2次元モデルの大部分の普遍的な性質であることを強力に証明するものです。彼らは、この研究の成功は、共形不変性のさらなる進展には、数学の様々な分野から融合した、同様に多様な手法の組み合わせが必要であることを示していると考えています。

「共形不変性の議論や相転移の研究においては、あらゆるものを少しずつ扱う必要があるという考え方が、ますます真実味を帯びてくると思います。一つの角度からアプローチするだけでは不十分なのです」とデュミニル＝コパン氏は述べた。

最後のステップ

スミルノフの2001年の結果以来初めて、数学者たちは長年の課題であった共形不変性の普遍性証明に新たな着手を得た。そして、以前の研究とは異なり、この新たな結果は新たな道を切り開く。研究者たちは、一度に一つずつ構成対称性を証明していくボトムアップアプローチを採用することで、最終的に普遍的な結果を支える基盤を築くことができたと期待している。

回転不変性が証明された今、デュミニル＝コパンと彼の同僚たちは、当初の目標であったスケール不変性に目を向けている。回転対称性に関する最近の研究と、並進対称性はそれ自体の証明を必要としないという事実を考慮すると、スケール不変性の証明は数学者を完全な共形不変性の証明の瀬戸際に立たせることになる。そして、彼らの手法の柔軟性から、研究者たちはそれが可能であると楽観視している。

「ステップ3は間違いなくかなり近いうちに実現するだろう」とデュミニル＝コパン氏は語った。「もしそれが私たちでなければ、もっと賢い誰かがやるだろうが、間違いなく、近いうちに実現するだろう」

回転不変性の証明には5年かかったため、次の結果が出るまでにはまだ時間がかかるかもしれない。それでも、スミルノフ氏は2次元共形不変性がついに実現可能になるかもしれないと期待している。

「それは1週間を意味するかもしれないし、5年を意味するかもしれないが、私は11月よりもずっと楽観的だ」とスミルノフ氏は語った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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