超惑星運動対決：ケプラー対ニュートン

科学は常に未完のプロジェクトです。だからこそ、こんなにも楽しいのです。データ収集、世界の仕組みを説明するモデルの構築、そして新たなモデルでそれらを覆すというプロセスは、数々の驚きとスリルに満ちています。しかし、おそらく最も素晴らしい物語は天文学から生まれるのでしょう。それでは、その物語の一部、アイザック・ニュートンがヨハネス・ケプラーを出し抜いた章を見てみましょう。

もちろん、まずは背景を知る必要があります。古代ギリシャ人は地球と空を研究しましたが、彼らの基本的なモデルでは、すべての天体（太陽、月、惑星）が私たちの周りを円を描いて動いていました。後に、ニコラウス・コペルニクスは「太陽を中心に置くと、火星の奇妙な動きを説明できる」と言いました。その後、1600年代初頭にケプラーが惑星の運動モデルを考案しました。このモデルが完成するまでには、多くの論争や嘆きがありましたが、それは皆さんの想像にお任せします。

ケプラーのモデルには3つの主要な考え方があります。（これらは通常「ケプラーの惑星運動の3法則」として提示されますが、実際には単なるモデルです。）

• 惑星は太陽の周りを楕円形（円形ではない）で回ります。
• 惑星は太陽に近づくにつれて、速度が速くなります。
• 公転周期 ( T ) は、式T 2 = a 3によって公転距離 ( a ) と関連しています(ここで、T は年単位で測定され、a は地球と太陽間の距離の単位で測定されます)。

いくつかコメントがあります。まず、このモデルは当時入手可能な観測証拠に基づいているだけですが、データには非常によく適合していました。これは決して簡単な作業ではありませんでした。惑星の軌道をプロットしようとするだけでも大変です。何年もかけて天空上の惑星の位置を観測すれば、それが可能になります。しかし、その場合、測定している場所も宇宙空間を回転しているという事実を考慮する必要がありました。

もう一つ重要な点があります。地球の場合、周期と軌道距離の関係は「1 = 1」の式となります。地球が太陽の周りを一周するのに1年かかり、軌道距離は1AU（天文単位、地球から太陽までの距離）です。地球から太陽までの距離を実際に測定できるようになったのは、ずっと後のことでした。よく考えてみると、これは驚くべきことです。

念のため、太陽を周回するランダムな惑星について、ケプラーの法則を用いた数値モデルをご紹介します。下の画像はGIFですが、コードはこちらです。

これはニュートン以前の惑星運動の最良のモデルです。そして、実に優れたモデルです。太陽を周回する新しい天体を発見したり、彗星の運動をモデル化したりするのに使うこともできます。しかし、もっと一般的なモデルになる可能性はあるのでしょうか？太陽を周回する惑星の運動と、地球を周回する月の運動の両方を説明できる、より根本的なモデルはあるのでしょうか？もしかしたら、木から落ちるリンゴの運動も説明できるようなモデルもあるかもしれません。

ニュートンのリンゴ事件の伝説は真実かどうかは定かではありませんが、それは問題ではありません。要するに、リンゴのような物体が上ではなく下に落ちるのと同じ力が、月が地球の周りを回る原因でもあるのではないかと彼は考えたのです。落ちるリンゴと月の間に明らかな類似点がないため、突飛な疑問に思えたかもしれません。しかし、ニュートンはほぼあらゆる場所で機能する重力のモデルを作り上げました。そのため、これは一般に「万有引力の法則」と呼ばれています。その仕組みは次のとおりです。

次のように、ある距離 ( r ) 離れた 2 つの質量 ( m ₁とm ₂ )があるとします。

両者の間には引力相互作用があることがわかります。m 1 がm 2 ( F 12 )に及ぼす力は、 m 2がm 1 ( F 21 )に及ぼす力と同じ大きさ（ただし方向は反対）です。この相互作用の大きさは、次の式で求められます。

ここで鍵となるのは、力の「反二乗」の性質です。2つの物体間の距離rを2倍にすると、力の大きさは4分の1に減少します（2の2乗だからです）。では、Gはどうでしょうか？これは万有引力定数で、約6.67 x 10 ^-11 Nm ² /kg ²という値を持ちます。これは非常に重要な定数ですが、ニュートンは実際にはこの定数の値を知りませんでした。

では、ニュートンのモデルはどのように機能したのでしょうか？果物が落ちる現象を説明しつつ、ケプラーの惑星軌道モデルを満たすことができるのでしょうか？やってみましょう。重力モデルを用いてケプラーのモデルを検証します。理論上（解析的な解法）でこれを行うことも可能ですが、非常に面倒です。そこで、ニュートンにはできなかった方法、つまり数値計算を用います。これは、惑星の運動を短い時間間隔に分割することで機能します。これらの短い間隔では、重力は一定（方向と大きさの両方において）であると仮定し、この一定の力を用いて速度と位置を更新します。そして、同じプロセスを次の間隔、さらにその次の間隔、と繰り返していきます。コンピュータを使えば、それほど難しくはありません。もちろん、力（F）と加速度（a）の関係が必要です。

加速度を表す標準的な記号aを使っていますが、念のため言っておきますが、これは上記のケプラーの法則のaとは異なります。あの矢印記号は、変数が単一の数値ではなくベクトルであることを意味します。（「ベクトル」という言葉に抵抗がある方は、私が言ったことを忘れてください。それでも計算は簡単に理解できます。）この式を使うと、惑星の加速度を求めることができます。そして、加速度から速度の変化v を求めることができます。（ギリシャ文字の Δ は「変化」を意味します。）

最後に、速度を使用して惑星の新しい位置を見つけることができます。

奇妙に思えるかもしれませんが、位置を表すのに距離記号rを使うのはごく一般的です。しかし、この最後の式には問題があります。物体の速度を使っていますが、これは先ほど更新したばかりです。つまり、厳密には時間間隔の終了時点の速度を使っていますが、これは誤りです。しかし、これは「少し間違っている」という程度です。時間間隔が十分に短ければ、この誤差は問題になりません。ちなみに、「短い時間間隔」とは、1時間程度のことであり、ここではマイクロ秒単位の話ではありません。地球をモデル化する場合にはマイクロ秒単位は使えませんが、天体物理学では巨大な距離の話です。惑星は1時間で（相対的に）それほど大きく移動して力が変化することはありません。

これが数値計算の基本的な考え方です。軌道を回る惑星の軌道を描くために、これをどのように実装したかをご覧ください。再生ボタンをクリックしてシミュレーションを実行してください。これは実際のコードです。鉛筆アイコンをクリックして確認できます。また、変更できる点についていくつかコメントを付けておきましたので、ぜひ試してみてください。宇宙をどう変えられるか、夢中になって試してみてください。何も壊すことはできません（少なくとも永久に壊すことはできません）。

惑星の開始位置（12行目）と開始速度（21行目）を変えてみましょう。どうなるでしょうか？惑星と太陽が見える程度に大きく表示しています。

ケプラーはどうでしょうか？ すぐに、惑星の軌道が少なくとも楕円形になる可能性が出てきます。もちろん円軌道も描けますが、そのためには開始速度か開始位置を変える必要があります。（コードにヒントを書いておきました。）ケプラーの第一法則についてはこれで十分です。

第二法則はそれほど難しくありません。繰り返しになりますが、惑星は太陽に近づくにつれて速度が増していくのがわかるはずです。こちらは、惑星の速度の大きさを軌道距離の関数としてプロットしたものです。軌道距離が短いほど、速度が実際に速くなっているのがわかります。

さて、ケプラーの法則を学んだことがあるなら、ここで異論を唱えるかもしれません。「等面積等時間法則はどうなっているのですか？」と。はい、ケプラーの第二法則を説明する最も一般的な方法は、惑星は軌道上のどこにいても、一定の時間内に同じ面積を「掃き出す」というものです。太陽に近いときは軌道半径は小さいですが、速度は速くなります。掃き出す「くさび形」は幅が広く短いです。しかし、このくさび形の面積は、惑星が遠いとき、つまり細長いくさび形のときと同じになります。面積を計算したいなら、どうぞ。私は速度と軌道距離の関係を示したグラフを気に入っています。

ケプラーのモデルの最後の部分は、公転周期と公転距離の関係です。さて、また少しズルをしましたね。円運動をしていない惑星の公転距離はどうやって求めるのでしょうか？方法はいくつかありますが、一番簡単な方法を使います。惑星の軌道を描き、中心から楕円の「細い」側までの距離を測ります。これは軌道長半径と呼ばれます。（一般的に、楕円の長軸方向、つまり「長軸」に沿って直径を測ると、軌道長半径はその半分になります。）

惑星が元の場所に戻る時点のシミュレーション時間を見るだけで、軌道周期も求めることができます。つまり、軌道の異なる複数の惑星を作成して、このグラフを作成できるということです。

こちらは、公転周期の2乗（単位は年）と軌道長半径の3乗（単位はAU）をプロットしたものです。軌道長半径は大まかに測定しただけなので、データは完璧ではありませんが、線形関数であることがわかります。さらに重要なのは、線形近似の傾きが1であることです。これは、ニュートン力学モデルを用いることで、ケプラーの第三法則が確かに成り立つことを意味します。

ちょっと待ってください！確認すべきことがもう1つあります。ニュートンの重力モデルは、落下するリンゴにも適用できるでしょうか？リンゴが木から落ちると、下へ落ちるにつれて速度が増します。この落下するリンゴの加速度は、地表付近であれば-9.8 m/s ²になります。数値計算でこれを試してみましょう。リンゴが地面から2メートルの高さから落ち始める、万有引力モデルを使います。コードはこちらです。結果は以下の通りです。

というわけで、ケプラーは惑星の運動を解明するために、非常に基本的なモデルから始めました。ニュートンはさらに一歩進んで、より一般的な重力モデルを構築しました。ニュートンの重力モデルは素晴らしいものですが、それでも惑星の運動やリンゴの落下に関する既存のデータと一致する必要がありました。では、ニュートンのモデルは正しいのでしょうか？誰にも分かりません。科学とはモデルを構築することです。重力相互作用に関する別のモデルがあれば、それは素晴らしいことですが、既存のモデルと矛盾することはできません。

老アイザックは謙虚さで知られていなかった。そもそも謙虚であるべきなのに。彼はおそらく史上最高の科学者であり数学者だ。しかし、1675年にロバート・フックに宛てた手紙の中で、彼でさえこう述べている。「もし私がより遠くを見ることができたとすれば、それは巨人たちの肩の上に立っていたからだ。」

WIREDのその他の素晴らしい記事

• コンピューターはそんなに賢いのに、なぜ読めないのでしょうか?
• xkcd のランドール・マンローが宇宙から荷物を郵送する方法を解説
• なぜ「ゼロデイ」AndroidハッキングのコストがiOS攻撃より高くなるのか
• このDIYインプラントは足の中から映画をストリーミングできる
• 私はオーブンをワッフルメーカーに買い替えました。あなたもそうすべきです
• 👁 機械はどのように学習するのか？さらに、人工知能に関する最新ニュースも読んでみましょう
• 🏃🏽‍♀️ 健康になるための最高のツールをお探しですか？ギアチームが選んだ最高のフィットネストラッカー、ランニングギア（シューズとソックスを含む）、最高のヘッドフォンをご覧ください。