円周率が列車の車輪を軌道上に維持する方法

円周率の日、おめでとうございます。そう、今日は3月14日です。アメリカ人のように日付を書くと「3/14」となり、これは3.14になります。円周率の表現としては最適ではありませんが、これで十分でしょう。いつもの恒例行事として、円周率を使って何かやってみようと思います。（この勢いを維持しないといけません。円周率の日に関する最初の投稿は2010年でした。）

今日の円周率の投稿では、電車とその周辺についてお話しましょう。特に、電車はどうやって線路上に留まっているのでしょうか？特にカーブのある線路では？簡単ですよね？電車の車輪には、線路の内側にフランジがあって、車輪が外れないようにしていると思うかもしれません。電車の車輪を正面から見ると、こんな感じです。

なぜこれが問題になるのでしょうか？まずは最初から始めましょう。車輪はどのように回転するのでしょうか？お手元に車輪があるかもしれません。もしない場合は、自転車が回転している様子をご覧ください。注：車輪の角度がどのように変化するかがわかるように、前輪にテープを貼っています。

ビデオ: レット・アラン

さて、動画の各フレームにおけるホイールの角度位置とホイールの中心の水平位置を測定するとします。結果は次のようになります。

車輪の角度位置と水平位置の間には、きれいな直線関係があることに気付きましたか？この直線の傾きは1度あたり0.006メートルです。もし半径の大きい車輪であれば、1回転あたりの移動距離は長くなります。つまり、この傾きは車輪の半径と何らかの関係があるのは明らかです。これを次の式で表してみましょう。

この式において、sは車輪の中心が移動する距離です。半径はr、角度位置はθです。残るkは比例定数です。sとθの関係は一次関数なので、krはその直線の傾きになります。この傾きの値は既に分かっており、車輪の半径は0.342メートルと測定できます。したがって、kの値は0.0175439（単位は1/度）となります。

大したことですよね？いえ、違います。これを見てください。k の値を180度で乗算するとどうなるでしょうか？私のkの値は3.15789です。はい、これは確かに pi = 3.1415 の値に非常に近いです（少なくとも円周率の最初の5桁はそうです）。このk は、角度の単位である度を、角度を測るのに適切な単位に変換するためのものです。この新しい単位をラジアンと呼びます。車輪の角度をラジアンで測ると、kは1になり、次のような関係式が得られます。

この方程式には重要な点が2つあります。まず、角度がラジアン単位なので、厳密には円周率（π）が含まれています（円周率の日、おめでとう）。次に、列車が線路から外れないのは、この方程式のおかげです。本当に。

では、列車の車輪が線路上に留まっていることの何が問題なのでしょうか？もし列車の車輪を観察することができれば、車輪が2つ1組になっていることがわかるでしょう。それぞれの車輪は、もう一方の線路上にある別の車輪とつながっています。2つの車輪をつなぐ車軸は固定されています。つまり、左の車輪が1回転すると、右の車輪も必ず1回転するということです。

さて、列車の車軸が1つだけ、カーブのある線路を走行していると想像してみてください。いくつか重要な点を示した図があります。

_{内側のレールは半径 R 1}の円の一部であることに注目してください。外側のレールは、より大きな半径 R ₂の円の一部です。したがって、この動作で車軸が開始位置から終了位置まで移動すると、車軸が軌道に沿って回転するためには、両方の車輪が同じ角度 θ だけ移動する必要があります。しかし、これは外側の車輪が s ₂ = R ₂ θ の距離を移動することを意味します（θ はラジアンで測定されると仮定）。一方、内側の車輪はそれよりも短い距離 s ₁ = R ₁ θ を移動します。

しかし、これはほぼ不可能です。もし二つの車輪が同じ量だけ回転するなら、同じ距離を転がることになります。平らな車輪がこの回転を行う唯一の方法は、片方の車輪が回転を止めて滑り始めることです。もちろん、線路上で車輪が滑れば、そもそも車輪を使う意味が全く失われてしまうでしょう。

この問題の解決策は、平らな車輪ではなく円錐形の車輪を使うことです。これは、線路に置かれた車輪を誇張して描いたものです。

直線の軌道の場合、2つの車輪は接触点における車輪の半径が同じ位置にある必要があります。つまり、2つの車輪は同じ量だけ回転し、同じ距離を移動します。車軸は直線を進み、軌道上にとどまります。しかし、軌道が（あなたの視点から見て）右に曲がっていると想像してください。外側の車輪（この図では左側の車輪）は、より長い距離を移動しなければなりません。これは、車軸全体が左に移動し、車輪の半径が大きい点で軌道に接触するためです。

これは一種の魔法です。直線の線路上で左車輪が高すぎる場合、車輪の半径が大きくなります。この大きな半径により、左車輪は左車輪と同じ回転数でより遠くまで移動します。その結果、車軸が動き、車輪が半径の小さい点で接触するようになります。こうして車軸は中心位置に戻ります。これは自己修正機能です。ぜひ見てください。列車の車輪の車軸を自分で作ってみました。車軸が線路と完全に一直線になっていないにもかかわらず、線路から外れていないのがわかると思います。

ビデオ: レット・アラン

車輪の細い部分がトラックの内側を向き、太い部分がトラックの外側を向くように車輪を入れ替えたらどうなるでしょうか？この場合、それは失敗です。車輪が完全に中心に位置していない場合、片方の車輪の接触点の半径がもう片方の車輪よりも大きくなります。接触半径が大きいため、その車輪の移動距離は大きくなり、車軸全体がずれてしまいます。しかし、車輪の外側が広くなるため、さらに大きな半径の上を走ることになります。これでは全体がさらに軌道から外れてしまいます。よく見てください。

ビデオ: レット・アラン

はい、私の車輪が完璧ではないことは承知しています。でも、もし完璧に一直線になっていたと想像してみてください。車軸がわずかに左に傾いただけでも、左車輪の半径が小さくなり、さらに傾きが大きくなります。車軸全体が線路から外れてしまうでしょう。カーブのある線路では、おそらく状況はさらに悪化し、脱線事故も引き起こすでしょう。鉄道の世界では、これを「悪い」と呼びます。でも、私たちは心配する必要はありません。私たちの車輪はちゃんと機能していて、円周率も使っています。皆さん、円周率の日おめでとうございます！

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