ゲリマンダーと無駄な票の背後にある数学

10の戦場で戦争をしているところを想像してみてください。あなたと敵はそれぞれ200人の兵士を抱え、できるだけ多くの戦闘に勝利することを目指しています。どのように部隊を配置しますか？各戦場に20人ずつ均等に部隊を分散させれば、敵は部隊を集中させ、ほとんどの戦闘で容易に勝利することができます。複数の戦場を制圧しようとすることも可能ですが、勝利の保証はなく、残りの戦場の防御は脆弱なままになるでしょう。勝利戦略を立てるのは容易ではありませんが、どちらの側も相手の作戦を事前に把握していなければ、公平な戦いと言えるでしょう。

では、相手が自軍だけでなくあなたの軍隊も展開できる力を持っていると想像してみてください。たとえより多くの軍隊を獲得できたとしても、勝つことはできません。

政治戦争において、この力を発揮させる力は、ゲリマンダー、つまり党派的利益のために選挙区を操作する古くからの慣習から生まれます。誰がどこに投票するかを予測することで、政治家は戦いが始まる前から勝算を高め、対立候補を打ち負かすことができるのです。

1986年、最高裁判所は極端な党派的ゲリマンダーを違憲と判断しました。しかし、不公平な選挙区割りを特定するための信頼できる基準がないため、最高裁判所は未だに違憲判決を下していません。現在、ウィスコンシン州議会の選挙区割りに対する訴訟で、最高裁判所が賛否両論を審理している中、数学者たちは選挙の公平性を求める戦いの最前線に立っています。

単純な数学は、陰謀を企む政治家が自党に過大な影響力を与える選挙区を設定するのに役立つだけでなく、数学はこうした状況を特定し、改善するのにも役立ちます。今年の夏、数学者ムーン・ダッチン氏が率いる計量幾何学とゲリマンダー・グループがタフツ大学で会合を開き、ゲリマンダーの分析と対処のための新しい数学的ツールについて議論しました。「効率ギャップ」は、最高裁判所が検討しているツールのいくつかの中核を成すシンプルな概念です。この概念とその影響について探ってみましょう。

まず、有権者が 200 人おり、そのうち 100 人が政党 A に、100 人が政党 B に忠誠を誓っている州を想像してください。州は 4 人の代表者を選出する必要があるため、選挙区の規模が同じ 4 つの地区を作成する必要があると仮定します。

有権者を任意の選挙区に割り当てる権限があると想像してみてください。A党を支持する場合、A党の有権者100人とB党の有権者100人を4つの選挙区に次のように配分するでしょう。

このように選挙区を分けると、政党Aは4回の選挙のうち3回で勝利します。もちろん、政党Bを支持する場合は、次のように有権者を配分するかもしれません。

ここでは結果が逆転し、政党 B が 4 つの選挙のうち 3 つで勝利します。

どちらのシナリオでも、同じ数の有権者が同じ好みを持つ同じ数の選挙に投票していることに注目してください。選挙区間の有権者の分布を変えるだけで、結果は劇的に変化します。選挙区を決定する能力は大きな力を持ち、簡単な計算を行うだけで選挙で優位に立つことができます。

もし、ある政党が他の政党より有利になるのではなく、公平な選挙区を作るために権力を行使したいとしたらどうでしょうか？まず、「公平」とは何かを定義する必要がありますが、これは難しい場合があります。なぜなら、勝者と敗者では公平性に対する考え方が異なることが多いからです。しかし、「公平」とは何かについていくつかの仮定を立てれば、異なる投票者分布の公平性を定量化することができます。これらの仮定とその影響については議論の余地があるかもしれませんが、数理モデルを採用することで、異なるシナリオを比較することが可能になります。効率ギャップは、投票者分布の公平性を定量化する一つのアプローチです。

効率ギャップを理解するには、まず、一連の関連選挙において、すべての票が同じ影響を与えるわけではないという観察から始めることができます。ある票は大きな違いを生むかもしれませんが、ある票は「無駄」とみなされるかもしれません。無駄になった票の差が効率ギャップです。これは、無駄になった票が競合政党間でどれだけ均等に、あるいは不均等に分配されているかを測るものです。

では、無駄な票とは何なのでしょうか？カリフォルニア州の大統領選挙における役割を考えてみましょう。1992年以来、カリフォルニア州は常に民主党の大統領候補を支持してきました。そのため、カリフォルニア州の共和党員は、ほぼ確実に敗北候補を支持していることを認識しています。ある意味で、彼らの票は無駄になっています。もしフロリダ州のような接戦の州で投票が認められていたら、彼らの票はより大きな影響を及ぼしたかもしれません。共和党員の観点からすれば、それは彼らの票をより効率的に使うことになるでしょう。

結局のところ、カリフォルニア州の民主党有権者も、自分たちの票が無駄になっているという同様の主張をすることができます。民主党候補がカリフォルニア州で圧勝する可能性が高いため、彼らの票の多くも、ある意味では無駄になっているのです。候補者がカリフォルニア州で得票率51%で勝利しても、67%で勝利しても、結果は同じです。つまり、余分に獲得した票は無意味なのです。

したがって、効率ギャップという観点から見ると、無駄になった票には2種類あります。敗北候補への無駄な票と、勝利候補への無駄な票で勝利に必要な票数を超えた票です（ここでは、簡潔にするために勝利の閾値を50%としますが、技術的には同点になる可能性もあります。各選挙区には数十万人もの有権者がいるので、実際に同点になる可能性は極めて低いでしょう）。複数選挙区制の選挙では、各政党がそれぞれの種類で無駄になった票を持つ可能性が高くなります。効率ギャップとは、各政党の無駄になった票の合計の差であり、投票総数に対する割合で表されます（効率ギャップが負にならないように、可能な場合は大きい方から小さい方を引きます。差の絶対値を取ることもできます）。

4つの地区のシナリオに戻り、効率性のギャップを検証してみましょう。最初の分布は次のようになりました。

このシナリオでは、Bの票のうち75票が無駄になります。そのうち60票は敗北に関連し、第4区の勝利に必要な25票より15票多く無駄になります。一方、Aの票は25票のみが無駄になります。勝利ごとに5票、敗北ごとに10票です。無駄になった票の差は75 - 25 = 50なので、ここでの効率性格差は50/200 = 25%です。ここでの25%の効率性格差は、Bのほうが無駄になった票が多いため、Aに有利であると言えます。2つ目のシナリオでは、数字が逆転し、25%の効率性格差はBに有利になります。

効率ギャップは、配分の公平性を示す指標となるのでしょうか？もしあなたが選挙区を設定する権限を持ち、自党の勝利を狙いたいとしたら、自党の無駄な票を最小限に抑え、対立候補の無駄な票を最大限に増やす戦略を取るでしょう。この目的のために、「パッキング・アンド・クラッキング」と呼ばれる手法が用いられます。つまり、反対派の票を少数の譲歩した選挙区に詰め込み、残りの票を分割して残りの選挙区に薄く分散させることで、その影響を最小限に抑えるのです。この手法は必然的に大きな効率ギャップを生み出すため、より公平な配分では効率ギャップは小さくなると考えられます。

効率性ギャップをより深く理解するために、有権者200人の州を10の選挙区に均等に分割したと仮定してみましょう。政党Aが10選挙区のうち9選挙区で勝利する、以下の有権者分布を考えてみましょう。

表面的には、これは有権者の公平な配分とは思えません。効率性ギャップは何を示しているのでしょうか？

このシナリオでは、党Bの票のほぼ全てが無駄になります。9つの選挙区それぞれで9票の敗北、そして1つの選挙区で9票の超過勝利があり、合計90票が無駄になります。一方、党Aの有権者ははるかに効率的で、無駄になるのは合計10票だけです。90票 - 10票 = 80票の無駄があり、効率性の差は80/200 = 40%となり、党Aが有利になります。

これを次の分布と比較してみましょう。A党が10地区のうち7地区で勝利しています。

ここでは、B党の70票とA党の30票が無駄に使われ、効率性の格差は40/200 = 20%となります。一見公平に見える配分は、効率性の格差を縮小させます。

最後の練習として、地区選挙を均等に分割して考えてみましょう。

対称性だけでも答えは明らかであり、計算によってそれが裏付けられます。各党が50票ずつ無駄にしているということは、効率性格差が0%であることを意味します。ここで注目すべきは、効率性格差0%は独立した公平性の概念に対応しているということです。つまり、州全体の有権者が両党に均等に分かれている場合、各党が選挙の半分ずつで勝利するのは合理的であるように思われます。

これらの基本的な例は、選挙の公平性を測る指標としての効率性ギャップの有用性を示しています。効率性ギャップは理解しやすく計算も容易で、透明性が高く、その解釈は他の公平性の概念と整合しています。シンプルな概念ですが、ゲリマンダーの研究において、様々な複雑な方法で活用されています。例えば、数学者は現在、シミュレーションを用いて、ある州の理論上の選挙区地図を何百万通りも検討し、あらゆる可能性のある効率性ギャップの分布を検証しています。これは、現在の選挙区地図の公平性を他の可能性と比較して評価するための文脈を作り出すだけでなく、より公平な代替案を提案するためにも活用できる可能性があります。

有権者は、例で想像したような形で実際に選挙区に割り当てられるわけではありませんが、ゲリマンダー（選挙区の区割り操作）という行為は同様の結果をもたらします。選挙区の境界線を戦略的に再編することで、ゲリマンダーを行う者は投票配分を操作し、不公平な選挙戦を作り出すことができます。こうした不公平な争いは、私たちの統治方法に影響を与え、多数党の現職議員が次々に再選されるのを助長します。最高裁判所に係属中のこの訴訟は、不公平な可能性のある多くの選挙区割りの一つに過ぎません。効率ギャップのような客観的な数学的ツールこそが、ゲリマンダーを根絶し、政治の戦場のバランスを保つ唯一の方法なのかもしれません。

これらの概念を練習したり、生徒と共有したりするには、「政治の数学を行う」PDF ワークシートをダウンロードしてください。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。