数学の「大統一理論」が少し近づいた

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

1994年、数学界を震撼させるほどの証明が発表された。数学者アンドリュー・ワイルズは、3世紀以上も未解決だった数論の核心問題、フェルマーの最終定理をついに解明したのだ。その証明は数学者を魅了しただけでなく、ニューヨーク・タイムズの一面を飾った。

しかし、それを達成するには、ワイルズは（数学者リチャード・テイラーの助けを借りて）まず、フェルマーのパズルを超えた意味を持つ、より微妙な中間的な命題を証明する必要がありました。

この中間的な証明は、楕円曲線と呼ばれる重要な方程式が、モジュラー形式と呼ばれる全く異なる数学的対象に常に結び付けられることを示すものでした。ワイルズとテイラーは、本質的に異なる数学的領域間の扉を開き、それぞれが他方の歪んだ鏡像のように見えることを明らかにしました。数学者が楕円曲線について何かを理解したい場合、ワイルズとテイラーはモジュラー形式の世界に入り、対象の鏡像を見つけて研究し、そこから得た結論を持ち帰ることができることを示しました。

「モジュラリティ」と呼ばれるこの世界間のつながりは、ワイルズがフェルマーの最終定理を証明できただけでなく、数学者たちもすぐにこれを利用し、これまで解決不可能だったあらゆる問題の解決を進展させました。

モジュラリティは、数学の「大統一理論」の構築を目指す広範な予想であるラングランズ・プログラムの基盤も形成しています。もしこの予想が正しければ、楕円曲線以外のあらゆる方程式も同様に、それぞれの鏡像領域にある対象に結び付けられることになります。数学者はこれらの世界を自由に行き来し、さらに多くの疑問に答えることができるでしょう。

しかし、楕円曲線とモジュラー形式との対応関係を証明することは非常に困難でした。多くの研究者は、これらの複雑な対応関係のいくつかは証明不可能だと考えていました。

今回、4人の数学者からなるチームが、彼らの誤りを証明した。2月、彼らはついに、楕円曲線からアーベル曲面と呼ばれるより複雑な方程式へとモジュラー性の関連性を拡張することに成功した。シカゴ大学のフランク・カレガリ、インペリアル・カレッジ・ロンドンのジョージ・ボクサーとトビー・ジー、そしてフランス国立科学研究センターのヴァンサン・ピローニからなるチームは、特定の主要類に属するすべてのアーベル曲面が、常にモジュラー形式に関連付けることができることを証明した。

「私たちはほぼすべての予想が正しいと信じていますが、実際に実現するのを見るのは本当に興奮します」と、インペリアル・カレッジ・ロンドンの数学者アナ・カライアーニ氏は語った。「しかも、実現不可能だと思っていたケースです。」

これは何年もかかる探求の始まりに過ぎません。数学者たちは最終的に、あらゆるアーベル面のモジュラ性を証明したいと考えています。しかし、楕円曲線のモジュラ性の証明が様々な新たな研究方向を切り開いたように、この成果はすでに多くの未解決の疑問を解明するのに役立つ可能性があります。

鏡を通して

楕円曲線は、 xとy という2つの変数だけを用いる、特に基本的な方程式です。その解をグラフ化すると、一見単純な曲線のように見えます。しかし、これらの解は豊かで複雑な形で相互に関連しており、数論における多くの重要な問題に現れます。例えば、バーチ・スウィナートン＝ダイアー予想は、数学における最も難解な未解決問題の一つであり、最初に証明した人には100万ドルの賞金が与えられます。これは楕円曲線の解の性質に関する問題です。

楕円曲線を直接研究するのは難しい場合があります。そのため、数学者は別の角度からアプローチすることを好む場合があります。

ここでモジュラー形式が登場します。モジュラー形式とは、解析学と呼ばれる一見独立した数学研究分野に現れる、高度に対称的な関数です。モジュラー形式は多くの優れた対称性を示すため、扱いが容易です。

一見すると、これらの対象は関連がないように見えます。しかし、テイラーとワイルズの証明は、すべての楕円曲線が特定のモジュラー形式に対応することを明らかにしました。これらには共通の性質があり、例えば、楕円曲線の解を表す数の集合は、それに対応するモジュラー形式にも現れます。そのため、数学者はモジュラー形式を用いて楕円曲線に関する新たな知見を得ることができます。

しかし数学者たちは、テイラーとワイルズのモジュラリティ定理は普遍的な事実の一例に過ぎないと考えている。楕円曲線以外にも、はるかに一般的なオブジェクトクラスが存在する。そして、これらのオブジェクトはすべて、モジュラー形式のようなより広い対称関数の世界にもパートナーが存在するはずだ。これが、本質的にラングランズ・プログラムの本質である。

楕円曲線は変数がxとy の2つだけなので、平らな紙にグラフ化できます。しかし、変数zを追加すると、3次元空間に存在する曲面が得られます。このより複雑な形状はアーベル面と呼ばれ、楕円曲線と同様に、その解は数学者が理解しようとする複雑な構造を持っています。

アーベル面がより複雑なモジュラー形式に対応するのは当然のことのように思えた。しかし、追加の変数によって、それらの構築ははるかに困難になり、解の発見もはるかに困難になった。それらもまたモジュラー性定理を満たすことを証明することは、全く手の届かないことのように思えた。「これは考えるべきではない既知の問題でした。なぜなら、これまで多くの人が考え、行き詰まってきたからです」とジーは言った。

しかし、ボクサー、カレガリ、ジー、ピローニは挑戦したかったのです。

橋を見つける

4人の数学者は全員ラングランズ計画の研究に携わっており、「奇妙なものではなく、現実に実際に現れる物体」に対してこれらの予想の1つを証明したいと考えていたとカレガリ氏は語った。

アーベル面は現実世界、つまり数学者の現実世界に現れるだけでなく、それらに関するモジュラリティ定理を証明すれば、数学の新たな扉が開かれるだろう。「この命題があれば、そうでなければ絶対にできないことがたくさんできるのです」とカレガリ氏は語った。

2人の数学者は2016年に共同研究を開始し、テイラーとワイルズが楕円曲線の証明で用いたのと同じ手順を踏むことを目指しました。しかし、アーベル面の場合、それらの手順の一つ一つははるかに複雑でした。

そこで彼らは、扱いやすい「普通アーベル面」と呼ばれる特定の種類のアーベル面に焦点を当てました。このような面には、解の構造を表す数の集合が存在します。同じ数の集合がモジュラー形式からも導出できることを示すことができれば、研究は完了です。これらの数は固有のタグとして機能し、それぞれのアーベル面をモジュラー形式と関連付けることができます。

問題は、これらの数は与えられたアーベル面に対して簡単に計算できるものの、数学者たちは全く同じタグを持つモジュラー形式を構築する方法を知らないことでした。要件があまりにも制約されている場合、モジュラー形式を構築するのはあまりにも困難です。「探しているオブジェクトは、実際には存在するかどうかわからないのです」とピローニ氏は言います。

代わりに、数学者たちは、アーベル面の数と弱い意味で一致するモジュラー形式を構築すれば十分であることを示した。モジュラー形式の数は、いわゆるクロック算術の領域において等価であれば十分だった。

時計を想像してください。時針が 10 から始まり、4 時間が経過すると、時計は 2 を指します。ただし、時計の計算は、(現実世界の時計の場合のように) 12 という数字だけではなく、任意の数字で実行できます。

ボクサー、カレガリ、ジー、ピローニは、3 まで上がるクロックを使用したときに 2 つの数値セットが一致することを示すだけで済みました。これは、与えられたアーベル面に対して、数学者が関連するモジュラー形式を構築する際に、より柔軟に対応できることを意味しました。

しかし、これもまた困難であることが判明しました。

その後、彼らは、対応する数値の計算が容易なモジュラー形式の宝庫に偶然出会った。ただし、数値を 2 までのクロックに従って定義する限りである。しかし、アーベル面には 3 までのクロックが必要だった。

数学者たちは、これら2つの異なる時計を大まかに繋ぐ方法を知っていました。しかし、その接続を完璧にして、モジュラー形式の世界でアーベル面と真に対応するものを見つける方法が分かりませんでした。そんな時、まさに彼らが求めていたものとなる新たな数学が現れました。

サプライズヘルプ

2020年、数論学者のルー・パン氏がモジュラー形式に関する証明を投稿しました。当初は四重項の問題とは関係ないように思われましたが、すぐに彼が開発した手法が驚くほど関連性があることに気付きました。「そんなことは予想していませんでした」とパン氏は言います。

数年にわたる定期的な会合（主にZoom経由）を経て、数学者たちはパンの手法を応用する上で進歩を見せ始めたが、依然として大きな障害が残っていた。そして2023年の夏、ボクサー、ジー、ピローニは、ドイツのボンで開催される会議が、共に研究する絶好の機会だと考えた。唯一の問題は、カレガリが講演のために同時期に中国へ渡航する予定だったことだ。しかし、シカゴの中国領事館への訪問が難航し、彼は考えを改めた。「8時間後、ビザが拒否され、車がレッカー移動されました」と彼は語る。彼は中国での会議を断念し、ドイツの共同研究者と合流することを決意した。

ジーはハウスドルフ研究所の地下室にチームのための部屋を確保した。そこなら、あちこちを巡回する数学者たちに邪魔される心配もほとんどなかった。彼らはそこで丸一週間、パンの定理の研究に明け暮れた。1日12時間、カフェインのためにたまに地上に上がる程度だった。「コーヒーを飲むと、いつも『鉱山に戻らなきゃ』と冗談を言っていたよ」とピローニは言った。

努力は報われた。「その後、多くの紆余曲折がありました」とカレガリは言った。「でも、その週の終わりには、ほぼ勝利を掴んだと思いました」

カレガリの確信を230ページに及ぶ証明にまとめるのに、さらに1年半を要した。彼らはそれを2月にオンラインに投稿した。すべての要素をまとめ上げ、彼らはあらゆる通常のアーベル面にはそれに対応するモジュラー形式が存在することを証明した。

彼らの新しいポータルは、いつかテイラーとワイルズの結果と同じくらい強力になり、誰も考えられなかったほど多くのアーベル面の謎を解き明かすかもしれない。しかしまずは、研究チームはこの結果を非通常のアーベル面にも拡張する必要がある。彼らはパンと協力し、探索を続けている。「10年後には、ほとんどすべての謎が解明されているはずです」とジーは語った。

この研究により、数学者たちは新たな予想を定式化することもできました。例えば、楕円曲線ではなくアーベル面を扱うバーチとスウィナートン＝ダイアーの予想の類似例などです。「少なくとも、この類似例がこれらの一般的な曲面に対して意味を成すことが分かりました」と、マサチューセッツ工科大学の数学者アンドリュー・サザーランド氏は述べています。「以前は、そのことは分かりませんでした。」

「いつか証明できると夢見ていた多くのことが、この定理のおかげで手の届くところまで来ました」と彼は付け加えた。「この定理は物事を変えるのです。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得 て転載されました。